Binomische formeln mit Pascalsche Dreieck

04.10.2006, 16:36

Binomische formeln mit Pascalsche Dreieck

hi
ich habe immer das problem, die binome mit höheren Exponente als 2 mit dem pascalsches Dreieck aufzulösen.

ich werde hier mal einige aufschreiben und hoffe, dass ihr das korrigieren könnt

erstmal das pascalsche Dreieck

1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

$\begin{eqnarray*} (a-b)^3=a^3-a^2b+b^2a-b^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2a+5b)^4=2^4a^4+2^3\cdot4a^3\cdot5b+5^3b^3\cdot4\cdot2a+5^4b^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (4a-4b)^6=4^6a^6 - 4^4a^5\cdot4b\cdot6 + 15\cdot4^4a^4\cdot4^2b^2 -20\cdot4^3a^3\cdot4^3b^3 +15\cdot4^2a^2\cdot4^4b^4 - 6\cdot4a\cdot4^5b^5 +4^6b^6 \end{eqnarray*}$

ich hoffe,dass das jemand überprüft

was ist mit trinomen mit 3 summanden?

$\begin{eqnarray*} (a+b+c)^3=\text{Regel??} \end{eqnarray*}$

04.10.2006, 16:41

Apokalypse

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RE: Binomische formeln mit Pascalsche Dreieck

Zitat:

Original von PG

erstmal das pascalsche Dreieck

1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

$\begin{eqnarray*} (a-b)^3=a^3-a^2b+b^2a-b^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2a+5b)^4=2^4a^4+2^3\cdot4a^3\cdot5b+5^3b^3\cdot4\cdot2a+5^4b^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (4a-4b)^6=4^6a^6 - 4^4a^5\cdot4b\cdot6 + 15\cdot4^4a^4\cdot4^2b^2 -20\cdot4^3a^3\cdot4^3b^3 +15\cdot4^2a^2\cdot4^4b^4 - 6\cdot4a\cdot4^5b^5 +4^6b^6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+b)^3 \end{eqnarray*}$ stimmt so schon mal nicht. Probier es mal mit folgender Gleichung und poste deine Lösung hier Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (a+b)^3=(a^2+2ab+b^2) \cdot (a+b) \end{eqnarray*}$

EDIT: Ich sehe jetzt erst, dass du $\begin{eqnarray*} (a-b)^3 \end{eqnarray*}$ gemeint hast, aber das Ergebnis bleibt leider dasgleiche.

04.10.2006, 16:47

JochenX

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[at] Apokalypse: es geht hier ja darum, dass Pascalsche Dreieck zu verwenden (also die Binomialkoeffizienten, den binomischen Satz), deinen Vorschlag, dass ganze durch Schrittweise ausultiplizieren zu machen, finde ich deswegen hier nicht so sinnvoll.

[at] PG; nur mal teilweise für ersten den Teil.
Dir fehlen ja nur noch die Koeffizienten, den Rest (inkl. der Vorzeichen, die hier alternieren) hast du doch schon, wieso schreibst du jetzt nicht einfach die Zahlen des Dreiecks hinein?

$\begin{eqnarray*} (a-b)^3=[...] \cdot a^3 - [...] \cdot a^2b + [...] \cdot ab^2 - [...] \cdot b^3 \end{eqnarray*}$

Und jetzt musst du doch nur noch die Zahlen der entsprechenden Zeile des Dreiecks hineinschreiben: hier 1 3 3 1
also:
$\begin{eqnarray*} (a-b)^3=1\cdot a^3 - 3 \cdot a^2b + 3 \cdot ab^2 - 1 \cdot b^3 \end{eqnarray*}$

Fertig.

04.10.2006, 17:04

Lazarus

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Kennst du die allgmeine Binomische Formel

$\begin{eqnarray*} \left(x+x_2\right)^r=\sum_{k\leqslant r}{r\choose k}x^k x_2^{r-k} \end{eqnarray*}$

es gibt auch eine Multinomialformel, sozusagen die Veralgemeinerung auf n Summanden:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{0\leqslant\nu\leqslant n}x_\nu\right)^r=\sum_{k_1+k_2+...+k_n=r}\left[~\frac{r!}{\prod\limits_{0\leqslant {\nu} \leqslant n}k_{\nu}!}\prod_{0\leqslant\nu \leqslant n}x^{k_\nu}_\nu\right] \end{eqnarray*}$

Sieht evtl. jetzt weng beängstigend aus, aber wenn dus dir an nem Beispiel klarmachst gehts eigentlich (also z.b. dem $\begin{eqnarray*} (a+b+c)^3 \end{eqnarray*}$ )

\\edit: nach ein wenig Suchen hab ichs hier dann dochnoch gefunden:
Wolfram
Hätte es nicht extra abtippen müssen Hammer

Und wenn man Multinomialkoeffizienten vorraussetzten kann, könnte man das auch "vereinfachen" (=anschaulicher umschreiben) : $\begin{eqnarray*} \frac{r!}{\prod\limits_{0\leqslant {\nu} \leqslant n}k_{\nu}!} = {r \choose k_1, k_2, k_3, \ldots, k_n} \end{eqnarray*}$

04.10.2006, 17:17

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Zitat:

Original von LOED
PG; nur mal teilweise für ersten den Teil.
Dir fehlen ja nur noch die Koeffizienten, den Rest (inkl. der Vorzeichen, die hier alternieren) hast du doch schon, wieso schreibst du jetzt nicht einfach die Zahlen des Dreiecks hinein?

Erstmal danke für die Antworten

Ich weiss auch nicht, warum ich das nicht gemacht habe...solche Flüchtigkeitsfehler passieren mir oft!

Also mit den Koeffizienten wäre es richtig- doch was ist mit den anderen? Sind sie richtig?

ich werde mir diese Seite mal anschauen, Vielen Danke Lazarus und auch an dir Loed, wie immer smile

04.10.2006, 17:53

JochenX

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Bei der zweiten hast du einfach den mittleren Summanden vergessen.... der Rest davon ist okay.
Der Übersichtlichkeit empfehle ich dir, das ganze systematischer aufzuschreiben.... also z.B. den Faktor aus dem Pascaldreieck immer als erstes, als so mittenrein; ist zwar egal, aber wäre besser lesbar (vor allem auch für uns beim Fehlererkennen!).

Beim letzten einmal ein Tippfehler (nehme ich mal an): du schreibst 4 statt 5 im Exponenten (zweiter Summand).
Sonst richtig - wieder schwer überprüfbar, wegen der Reihenfolge der Summanden.

Immer gilt natürlich: Zahlenpotenzen ausrechnen, also vereinfachen.

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