Schwerpunktberechnung

16.11.2009, 20:15	maxrus	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunktberechnung Hallo, folgende Frage: wo liegt der schwerpunkt des rotationskörpers? Funktion: f(x)=x^2+1, DB:x? [-2;2] rotiert um die y-Achse mein lösungsvorschlag:Xs=0 und für Ys gibt es eine formel: Ys=Pi/V*Integral(von(1) bis(5))yx^2 alles eingesetz kriege ich 2,44 raus, das ergebnis ist aber 1,74, kann mir jemand sagen wo mein fehler liegt?!?
17.11.2009, 06:51	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwerpunktberechnung Kann man das nicht mit Schulmathematik lösen??? Oder willst du das mit Mehrfachintegralen angehen??? Was hast du da für eine Formel aufgegriffen? Du musst deinen Lösungsweg darstellen, damit man den Fehler überhaupt finden kann. Und woher hast du die vermeintlich richtige Lösung?
17.11.2009, 09:19	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Parabel y=x^2+1 rotiert um die y-Achse im Intervall -2<x<2. Die Rechnung wird einfacher, wenn Du die Funktion an der Geraden y=x spiegelst und um die x-Achse rotieren lässt. Dann ist die rotierende Funktion gerade die inverse der ursprünglichen Funktion, also $\begin{eqnarray} y=\sqrt{x-1} \end{eqnarray}$ Das Intervall lautet nun 0<x<5. Male Dir diese Funktion mal auf, und Du wirst sehen, dass der Schwerpunkt irgendwo in der Nähe von x=3,5 liegen muss. Also sind Deine beiden Lösungsvorschläge falsch. Aufgrund der Symmetrie muss der Schwerpunkt $\begin{eqnarray} (x_S\|y_S\|z_S) \end{eqnarray}$ auf der x-Achse liegen, also $\begin{eqnarray} y_S=z_S=0 \end{eqnarray}$ . Laut Definition des Schwerpunktes gilt für die Schwerpunktkoordinate $\begin{eqnarray} x_S \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_S=\frac{\int~x~dV }{\int~dV } \end{eqnarray}$ Stell' Dir vor, der Rotationskörper wird in dünne Scheiben zerschnitten (senkrecht zur x-Achse). Jeder Scheibe hat einen kreisförmigen Querschnitt A und eine differentielle Dicke dx. Also ist das differentielle Volumen einer dünnen kreisrunden Scheibe $\begin{eqnarray} dV=A \cdot dx \end{eqnarray}$ Damit vereinfacht sich die Schwerpunktformel zu $\begin{eqnarray} x_S=\frac{\int_{1}^{5}~xA~dx }{\int_{1}^{5}~A~dx } \end{eqnarray}$ Der Inhalt einer Kreisfläche ist $\begin{eqnarray} A=r^2 \pi \end{eqnarray}$ . Weil der Radius r gerade die y-Koordinate $\begin{eqnarray} r=y=\sqrt{x-1} \end{eqnarray}$ ist, können wir setzen $\begin{eqnarray} A=r^2 \pi=(x-1)\pi \end{eqnarray}$ Damit vereinfacht sich die Schwerpunktformel weiter zu $\begin{eqnarray} x_S=\frac{\int_{1}^{5}~x\cdot (x-1)~dx}{\int_{1}^{5}~(x-1)~dx }=\frac{\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2\|_1^5}{\frac{1}{2}x^2-x\|_1^5}=\frac{29,333}{8}=3,66666 \end{eqnarray}$ Das entspricht etwa der obigen Abschätzung von 3,5.
17.11.2009, 09:26	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachtrag zu meinem vorherigen Beitrag: Wenn man die Funktion wieder an der Geraden y=x spiegelt, entsteht wieder die ursprünglich gegebene Funktion $\begin{eqnarray} y=x^2+1 \end{eqnarray}$ Um die x-Koordinate bezüglich dieses ursprünglichen Koordinatensystems zu bekommen, muss man die obige Lösung 3,6666 für y einsetzen und nach x umstellen, also $\begin{eqnarray} 3,6666=x^2+1 \end{eqnarray}$ Das ergibt x=1,6329.
17.11.2009, 09:36	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist für mich unverständlich, warum du den Aufgabensteller nicht erstmal selbst zu Wort kommen lässt? Woher nimmt er seine Vermutungen für die Lösungen, woher hat er die Formel, versteht er überhaupt, was er rechnen soll usw. Dann fängst du hier an eine komplette Lösung zu posten, die auch noch kleine Schönheitsfehler enthält. Nebenbei: es gibt eine Edit-Funktion, die du auch bitte nutzen solltest. Ich bin echt am Überlegen, deinen Beitrag entsprechend zu kürzen.

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