Beweis expliziter Darstellung für Fibonacci-Zahlen durch Induktion [war: Induktionsaufgabe]

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04.10.2006, 16:47	Lösungsmenge	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis expliziter Darstellung für Fibonacci-Zahlen durch Induktion [war: Induktionsaufgabe] Hallo, ich soll zeigen, dass die Binetformel gilt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt5}((\frac{1+\sqrt 5}{2} )^n-(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n)=f_n \end{eqnarray}$ wobei f_n die n-te Fibonacci-Zahl ist. Für n=1 und 2 hab ich das ausgerechnet und jedesmal 1 rausbekommen Nun zum Induktionsschritt: Hier muss man ja beachten, dass gilt: $\begin{eqnarray} f_{n+1}=f_n+f_{n-1} \end{eqnarray}$ Leider hab ich keine Ahnung wie man die rechte Seite für die man dann ja die Indkutionsvorraussetzung einsetzt einigermaßen elegant ausrechnet. Ich muss das vorrechnen und will deshalb, dass das eingermaßem gescheit wird.
04.10.2006, 17:07	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
schreib dir das ganze doch mal auf und Rechne es nicht sofort aus sondern versuch erst zusammen zu fassen oder zu vereinfachen.
04.10.2006, 17:25	swerbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Da es sich bei der Fibonacci-Folge um eine (im "einfachsten Fall") rekursive Folge handelt, lässt sich die Binetformel alternativ auch komfortabel mittels Differenzengleichungen bestätigen bzw. Herleiten. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob auch auf diesem Weg der "Beweis" erbracht werden darf, bzw. ob du dies überhaupt so machen kannst(willst). Edit: Hier nochmal der Link zu einem Wiki-Artikel, damit du weißt, was ich mit Differenzengleichungen meine. Exemplarisch wird hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Differenzengleichung die Binet-Formel hergeleitet... Gruß swerbe
04.10.2006, 23:00	Lösungsmenge	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsaufgabe So und nun? $\begin{eqnarray} f_{n+1}=f_n+f_{n-1}=\frac{1}{\sqrt5}((\frac{1+\sqrt 5}{2} )^n-(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n)+\frac{1}{\sqrt5}((\frac{1+\sqrt 5}{2} )^{n-1}-(\frac{1-\sqrt 5}{2})^{n-1})=\\ \frac{1}{\sqrt5}((\frac{1+\sqrt 5}{2} )^n-(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n+(\frac{1+\sqrt 5}{2} )^{n-1}-(\frac{1-\sqrt 5}{2})^{n-1}) \end{eqnarray}$
04.10.2006, 23:24	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Definiere $\begin{eqnarray} \phi := \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi := \frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} f_{n+1} = f_n + f_{n-1} = \frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^n-\psi^n + \phi^{n-1} - \psi^{n-1}) \end{eqnarray}$ . Das hast du bisher gezeigt. Und so geht es weiter: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^n-\psi^n + \phi^{n-1} - \psi^{n-1}) = \frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{n-1}(\phi+1) - \psi^{n-1}(\psi +1) ) \end{eqnarray}$ . Nun ist $\begin{eqnarray} \phi +1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \phi^2 \end{eqnarray}$ . Entsprechendes gilt für $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ . Gruß, therisen EDIT: Namen falsch geschrieben EDIT: Titel geändert
06.10.2006, 11:54	Lösungsmenge	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab raus: $\begin{eqnarray} \psi+1=\psi^2 \end{eqnarray}$ Und dann muss ich jetzt noch die Hochzahlen einfach addieren und es steht da oder? $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{n-1}(\phi+1) - \psi^{n-1}(\psi +1) )=\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{n-1}(\phi^2) - \psi^{n-1}(\psi^2) )=\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{n+1} - \psi^{n+1}) \end{eqnarray}$ .
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06.10.2006, 13:45	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Exponenten darf(=muss) man natürlich gemäß der Regel $\begin{eqnarray} a^n \cdot a^m=a^{n+m} \end{eqnarray}$ zusammenfassen. Jetzt hast dus, und die Lösung steht da. \\edit: das grausam aussieht ändere ich es. Es stand zuerst a^n+a^m da, was natürlich quatsch ist.
06.10.2006, 13:54	ich bin smile	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meintest $\begin{eqnarray} a^{n}a^{m}=a^{n+m} \end{eqnarray*}$
06.10.2006, 13:59	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
etwas O.T vielleicht: In dem Zusammenhang haben wir mal die Formel in lineare Algebra II hergeleitet dabei haben wir uns folgendes Gleichungssystem angeschaut: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_{n+1} \\ a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{n} \\ a_{n-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit dem Ansatz erreicht man auch das gewünschte , muss man natürlich nicht!
06.10.2006, 14:23	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
ja meine ich natürlich! sorry, tippfehler.

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