Gleichmächtigkeit von (0,1) und (0,1)^2

16.11.2009, 22:06	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmächtigkeit von (0,1) und (0,1)^2 Hi, ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (0,1)^2 = (0,1) \times (0,1) \end{eqnarray}$ gleichmächtige Mengen sind. Meine erste Überlegung wäre, den Satz von Cantor-Bernstein zu verwenden und zwei injektive Abbildungen $\begin{eqnarray} f: (0,1) \mapsto (0,1)^2 \qquad g: (0,1)^2 \mapsto (0,1) \end{eqnarray}$ zu finden. Die eine ist mit $\begin{eqnarray} f(x) = (x,x) \end{eqnarray}$ dabei schnell gefunden. Beim Finden einer Abbildung $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ habe ich jedoch so meine Sorgen. Viel Überlegen hat bisher nichts Nennbares gebracht. Ich vermute aber (leider) stark, dass ich u.U. über die Dezimalbruchentwicklungen der Argumente gehen sollte ... ? Danke schonmal für Anregungen u. Hinweise! air
16.11.2009, 22:17	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordne jeder Zahl x aus (0,1) eine eindeutige Dezimalbruchentwicklung (a_i) zu. Bilde aus zwei Folgen (a_i) und (b_i) dann eine neue Folge (c_i) (Tipp: Modulo 2 zählen )
16.11.2009, 23:01	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal zur Erklärung (ich war abseits des Boards auch am Reden mit kiste; Danke an der Stelle!): Auf das, was er hinauswill, bin ich soweit selbst schon gekommen. Mir ging es eben um das Problem der Eindeutigkeit. Wie an meiner Signatur zu sehen, haben wir IR über Cauchyfolgen definiert. Ich müsste also für jede reelle Zahl einen Repräsentanten wählen und hätte so eine eindeutige Entwicklung. Dahinter steckt, wenn ich nicht irre, jedoch das Auswahlaxiom. Ich habe nun einfach mal meinen Tutor befragt, ob ich das verwenden und so vorgehen darf und warte nun auf eine Antwort. air
20.11.2009, 00:42	Ryuno-Ki	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmächtigkeit von (0,1) und (0,1)^2 Brech einmal das Argument hier: math.uni-frankfurt.de/~habash/elmath2_07/blatt01.pdf (mit www davor) auf ein offenes Intervall herunter Dann hast dein g gefunden ^^
20.11.2009, 00:48	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Danke für die Antwort, ich habe es aber inzwischen geschafft. In deinem Link wird afaik die o.g. Problematik aber nicht beachtet (habs aber nur überflogen). Aber auch dieses Problem habe ich ja inzwischen lösen können. air
23.11.2009, 00:32	Ryuno-Ki	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann sieh dir Seite 2 die Lösungsskizze zu dem Aufgabenkomplex A an Aber da du ja eh die Aufgabe erledigt hast, ist der Beitrag von mir jetzt hier nur per forma ^^ War übrigens auch derjenige, der den Link auf StudiVZ bei euch 'reingesetzt hat zu dem PDF-Dokument
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