Konvergenzkriterium

16.11.2009, 22:12	aaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzkriterium Ich soll folgendes Konvergenzkriterium beweisen, aber leider kriege ich das überhaupt nicht hin: $\begin{eqnarray} \frac{a_{n+1}}{a_n} \rightarrow a (n \rightarrow \infty) \Rightarrow \sqrt[n]{a_n} \rightarrow a (n \rightarrow \infty) \end{eqnarray}$ Mein bisheriger ansatz war für die vorraussezung das halt betrag(an/an+1 - a) < epsilon zu schreiben und das dann zu demselben für die folgerung umzuformen. damit hatte ich aber überhaupt keinen erfolg
16.11.2009, 22:23	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} a >0 \end{eqnarray}$ geht es z.B. so: Nach Vorraussetzung gibt es ein $\begin{eqnarray} N \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass für $\begin{eqnarray} n \geq N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} a-\varepsilon<\frac{a_{n+1}}{a_n} < a+\varepsilon \end{eqnarray}$ . Nun gilt diese Ungleichung für $\begin{eqnarray} N, N+1, \dotsc n-1 \end{eqnarray}$ . Da alle Ausdrücke der Ungleichungskette positive Zahlen sind, können wir sie alle multiplizieren: $\begin{eqnarray} (a-\varepsilon)^{n-N}< \prod_{k=N}^{n-1}\frac{a_{k+1}}{a_k} < (a+\varepsilon)^{n-N} \end{eqnarray}$ . Nun werte mal das Produkt in der Mitte aus und gehe zur n-ten Wurzel über. edit: Eine weitere Möglichkeit habe ich hier schonmal geposted. Fällt aber für dich bestimmt flach, da man dafür ein großen Werkzeugkasten braucht. Ist aber trotzdem interessant, wie die Dinge alle so zusammenhängen
16.11.2009, 22:48	aaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die hilfe, ich glaube ich hab's jetzt verstanden. in der mitte bleibt ja nur $\begin{eqnarray} a_n/a_N \end{eqnarray}$ stehen und N ist ja konstant (d.h. ein beliebiges, aber festes N aus den natürlichen zahlen) sodass die n-te wurzel dann für n->unendlich gegen eins konvergiert, oder nicht?

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