symm. matrizen & pos.def.

04.10.2006, 17:21

kingskid

symm. matrizen & pos.def.

Hallo!

hab mir grad überlegt, ob man sagen kann, dass alle symmetrischen matrien auch positiv definit oder zumindest pos semidefinit sind??

viele grüße

04.10.2006, 18:02

JochenX

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Nö, wie kommst du darauf?

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=-E_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v^tAv=? \end{eqnarray*}$

04.10.2006, 19:23

kingskid

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oh besten dank für das gegenbeispiel smile

da kommt -2 < 0 raus...

hmm, hab mich nur gewundet, weil bei uns im tut heute so was gefallen ist, aber wir hatten es nicht mit einer beliebigen symmetrischen matrix zu tun, sondern mit

$\begin{eqnarray*} A^t A = B \end{eqnarray*}$ , die symmetrisch ist und dann gilt ja:

$\begin{eqnarray*} x^t A^t A x = (Ax)^tAx = ||Ax||_2^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

also d.h. für symm.matrizen B der Form $\begin{eqnarray*} B= A A^t \end{eqnarray*}$ kann man pos. defh. folgern, nicht aber für irgendwelche beliebigen symmetrischen, stimmt das so??

viele grüße =)

04.10.2006, 19:33

JochenX

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Zitat:

Original von kingskid
für symm.matrizen B der Form $\begin{eqnarray*} B= A A^t \end{eqnarray*}$ kann man pos. defh. folgern, nicht aber für irgendwelche beliebigen symmetrischen, stimmt das so??

Da steht einmal der Beweis für Ersteres (mit positiver Semidefinitheit natürlich), und oben noch das Gegenbeispiel zu Zweiterem.

Dann muss die Aussage so ja wohl stimmen, oder etwa nicht? Augenzwinkern

04.10.2006, 20:16

kingskid

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okay okay, danke dir, wollte mich nur nochmal vergewissern =)

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