Grenzwert von alternierenden Folgen |
| 17.11.2009, 11:22 | MrPink86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Grenzwert von alternierenden Folgen für meine Analysis Hausaufgaben muss ich in einer Teilfolge auch den berechnen. Das ist ja eine alternierende Folge und sie steht im Zähler eines Bruches. Der Nenner geht gegen unendliche. Also geht der gesamte Term gegen 0, allerdings alternierend. Nur wie begründe ich das mathematisch exakt? Danke für die Hilfe...MrPink |
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| 17.11.2009, 11:29 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Grenzwert von alternierenden Folgen Falls du meinst, dann solltest du Klammern setzen. ist konstant gleich -1. Bezüglich der Konvergenz gilt die Regel: Konvergiert der Betrag einer Folge gegen Null, so ist das äquivalent dazu, daß die Folge selbst auch gegen Null konvergiert. Die Regel selbst (falls ihr die nicht hattet) läßt sich sehr leicht beweisen. Frage am Rande: ist das Hochschulmathe? |
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| 17.11.2009, 15:48 | MrPink86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die ganze Folge ist natürlich ein Wenig komplizierter! Aber ja, es ist Hochschulmathematik. Aber kann man aufschreiben, dass ??? Die gesamte Folge lautet übrigens: Und da ist der Grenzwert 1 würde ich sagen, weil der 2. Summand im Nenner immer größer wird und der Zähler "konstant" bei 1 bleibt, ergo geht der 2. Summand gegen 0... |
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| 17.11.2009, 15:55 | heinzelotto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein, denn das ist falsch. Laut der Regel "Punkt vor strich" berechnest du 1^(n^2) , und setzt _danach_ ein - davor. Das Ergebnis lautet also -1 |
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| 17.11.2009, 15:59 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Ergebnis stimmt, die Begründung nicht. Bei wird der Nenner auch immer größer, der Grenzwert ist aber nicht Null. 
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| 17.11.2009, 16:32 | MrPink86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du das noch ein bisschen ausführlicher begründen, wieso der 2. Summand nicht gegen 0 geht? |
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| 17.11.2009, 16:37 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe nicht gesagt, daß der 2. Summand nicht gegen Null geht, sondern ich habe lediglich deine Begründung bemängelt. Also da muß was handfesteres her. |
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| 17.11.2009, 17:47 | MrPink86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also der Grenzwert der gesamte Folge geht gegen 1, laut den Grenzwertsätzen kannst du den Grenzwert einer Summe durch die Addition der Grenzwerte der Summanden angeben. Da der erste Summand für n gegen unendlich gegen 1 geht und der 2. gegen 0, geht der Grenzwert für die gesamte Folge gegen 1. So würd ichs sagen. |
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| 17.11.2009, 19:10 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im Prinzip ist das richtig. Nur fehlt mir eine saubere Begründung, warum der 2. Summand gegen Null geht. |
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| 17.11.2009, 19:20 | MrPink86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also Nenner des 2. Summanden geht für n gegen unendlich gegen unendlich und der Zähler geht für n gegen unendlich gegen 1, also geht der 2. Summand insgesamt gegen 0, da der Bruch ja mit jedem n immer kleiner wird. |
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| 17.11.2009, 19:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich laß das jetzt mal gelten, obwohl der Zähler zwischen -1 und 1 alterniert. Und Begründungen wie "der Bruch wird ja mit jedem n immer kleiner" solltest du in keiner Klausur oder Prüfung verwenden. Die Begründung gilt auch für und dennoch ist der Grnzwert nicht Null. |
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| 17.11.2009, 22:08 | MrPink86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was wäre denn eine korrekte Begründung? Oder spielst du auf den Grenzwertsatz mit der epsilon Umgebung an? |
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| 18.11.2009, 08:29 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erstmal betrachten wir den Betrag davon. Dadurch fällt das im Zähler weg. Dann formen wir um. Es gilt: Der letzte Ausdruck geht gegen Null. Falls das noch nicht gezeigt wurde, kann man das leicht mit dem epsilon-Kriterium nachholen. |
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