Komplexe Zahlen: Realteil, Imaginärteil, arg, Betrag ausrechnen

17.11.2009, 11:45

dmue2

Komplexe Zahlen: Realteil, Imaginärteil, arg, Betrag ausrechnen

Hallo alle zusammen,

haben diese Aufgabe bekommen und wir sollen dazu den Realteil, Imaginärteil, Argument und Betrag ausrechnen.
Das Problem ist, dass wir die Lösung bereits bekommen haben aber da einige sachen sind, die ich nicht verstehe.

$\begin{eqnarray*} Z=2^{-30}(i-\sqrt{3})^{32} \end{eqnarray*}$

Die besagte Lösung ist:

$\begin{eqnarray*} (i-\sqrt{3})^{32}=(2*cos(\frac{5\pi}{6})+i*2sin(\frac{5\pi}{6}))^{32}=2^{32}*(cos(\frac{160\pi}{6})+i*sin(\frac{160\pi}{6})) \end{eqnarray*}$
Damit erhält man:

$\begin{eqnarray*} Z=4*(cos(\frac{2\pi}{3})+i*sin(\frac{2\pi}{3}))=4*(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

Ich habe bisher den Betrag von $\begin{eqnarray*} (i-\sqrt{3})^{32} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet und dort 2 herausbekommen.
Danach habe ich den Winkel Phi ausgerechnet und dort auch $\begin{eqnarray*} (\frac{pi}{6}) \end{eqnarray*}$ herausbekommen aber ich weiß dann nicht wie man auf $\begin{eqnarray*} (\frac{5\pi}{6}) \end{eqnarray*}$ kommt und wie man es dann in die moivresche formel einsetzt.

Ich wäre sehr dankbar für antworten.

Gruß

Dominic

17.11.2009, 23:26

Abakus

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RE: Komplexe Zahlen: Realteil, Imaginärteil, arg, Betrag ausrechnen
Hallo!

Zitat:

Original von dmue2
Danach habe ich den Winkel Phi ausgerechnet und dort auch $\begin{eqnarray*} (\frac{pi}{6}) \end{eqnarray*}$ herausbekommen aber ich weiß dann nicht wie man auf $\begin{eqnarray*} (\frac{5\pi}{6}) \end{eqnarray*}$ kommt und wie man es dann in die moivresche formel einsetzt.

Zeichne dir eine komplexe Ebene und trage die Zahl da ein, dann lese den Winkel zur positiven x-Achse ab.

Grüße Abakus smile

18.11.2009, 07:53

dmue2

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RE: Komplexe Zahlen: Realteil, Imaginärteil, arg, Betrag ausrechnen
ja habe ich..ich habe die zahl innerhalb der klammer in die gaußsche ebene eingetragen und dann den winkel phi mit einer formel ausgerechnet, sodass 5/PI rauskam und bis dahin ist es ja auch richtig ich weiß halt nur ned wie es weiter geht...tut mir leid aus deiner formel werd ich nicht so richtig schlau

18.11.2009, 09:04

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen: Realteil, Imaginärteil, arg, Betrag ausrechnen

Zitat:

Original von dmue2
ja habe ich..ich habe die zahl innerhalb der klammer in die gaußsche ebene eingetragen

Und in welchem Quadranten liegt diese?

Zitat:

Original von dmue2
und dann den winkel phi mit einer formel ausgerechnet, sodass 5/PI rauskam

Ich finde es immer wieder schön, wenn man einfach Formeln anwendet, ohne zu prüfen, ob man das auch richtig gemacht hat. Und was soll jetzt rauskommen? 5/PI, PI/6 oder doch das richtige $\begin{eqnarray*} \frac{5 \pi}{6} \end{eqnarray*}$ ?

18.11.2009, 09:40

dmue2

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Entschuldige natürlich kommt da 5*pi/6 raus die liegt im 3 quadranten und die formel die ich angewendet habe war: erst aufgezeichnet dann betrag ausgerechnet und dann mit dem sinus den winkel phi = 5*pi/6 rausbekommen

18.11.2009, 09:44

klarsoweit

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OK, dann ist doch alles klar, oder?

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