Wahrscheinlichkeitstheorie: Terminale Sigma-Algebra

17.11.2009, 12:06	carlito09	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitstheorie: Terminale Sigma-Algebra Hallo Leute!! Ich habe hier eine Aufgabe, in der ich zeigen soll, dass gewisse Mengen in einer terminalen Sigma-Algebra liegen. Ich stehe leider völlig auf dem Schlauch, deshalb würde ich gerne für die ersten beiden einen Tipp haben, sodass ich die anderen dann selbst lösen kann. Die Aufgabe lautet: Auf einem W-Raum $\begin{eqnarray} ( \Omega , F, P ) \end{eqnarray}$ betrachten wir eine Folge $\begin{eqnarray} X_1, X_2, ... \end{eqnarray}$ reeller Zufallsgrößen. Entscheide, ob die folgenden Mengen stets in der terminalen Sigma-Algebra liegen: 1) $\begin{eqnarray} A := \left\{\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n~X_k existiert \right\} \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} B := \left\{X_n = 9 \forall n \geq 11 \right\} \end{eqnarray}$ 3) - 8) ... Ich habe die Vermutung: 1) liegt drin, weil es nicht von den ersten endlich vielen Ereignissen abhängt. Wie zeigen? 2) liegt nicht drin, da es ja schon vom 11. abhängt. Beweis, dass es nicht drin liegt: $\begin{eqnarray} Seien X_1=X_2=... \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} P(X_k = 9) = \frac{1}{2} = P(X_k \neq 9) \end{eqnarray}$ Dann $\begin{eqnarray} P(B) = P(X_{11}=9, X_{12}=9, ...) = P(X_1 = 9) = \frac{1}{2} \notin \left\{0,1\right\} \end{eqnarray}$ und nach dem 0-1-Gesetz nach Kolmogorov kann das dann nicht in der terminalen Sigma-Algebra liegen. Hoffe, ihr habt kurz Zeit um mir zu helfen, wäre super nett =) Viele Grüße, carlito PS: Wie macht man ein Leerzeichen in Latex??
17.11.2009, 12:11	carlito09	Auf diesen Beitrag antworten »
Scheiße 2) ist schonmal falsch weil die das Gesetz ja nur bei Unabhängigkeit gilt. Also habe ich NIX ^^ Dreck...
17.11.2009, 17:59	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitstheorie: Terminale Sigma-Algebra Bei 1) verwendet man den selben Trick wie bei den Cesaro-Limiten: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i<br /> = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=N}^{n}X_i ~~~~~ \forall~~~N \end{eqnarray}$ Bei 2) kommt es auf unabhängigkeit etc.pp. an ^.^ Das beste wird ein Gegenbeispiel sein.

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