Rechenregeln für Supremum

17.11.2009, 15:27

thomasz

Rechenregeln für Supremum

Hi!

Seien $\begin{eqnarray*} A, B \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nichtleer.

Sei $\begin{eqnarray*} A+B:=\{ c \in \mathbb{R} | \exists a \in A , \exists b \in B : c=a+b \} \end{eqnarray*}$ so gilt: Existieren $\begin{eqnarray*} supA \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} supB \end{eqnarray*}$ , dann auch $\begin{eqnarray*} sup(A+B) \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} sup(A+B)=supA+supB \end{eqnarray*}$ .

Folgt die erste Behauptung ( Existieren $\begin{eqnarray*} supA \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} supB \end{eqnarray*}$ , dann auch $\begin{eqnarray*} sup(A+B) \end{eqnarray*}$ ) einfach daraus, dass man ein $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ wählt, das die kleinste obere Schranke von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sei und ein $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ , das die kleinste obere Schranke von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sei und es laut Voraussetzung ja ein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ geben muss, für das gilt $\begin{eqnarray*} c=a+b \end{eqnarray*}$ ? Dieses $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ müsste dann doch $\begin{eqnarray*} sup(A+B) \end{eqnarray*}$ entsprechen.

Oder muss man den Beweis anders angehen?

Bezüglich der zweiten Behauptung $\begin{eqnarray*} sup(A+B)=supA+supB \end{eqnarray*}$ habe ich leider noch keinen Ansatz.

17.11.2009, 16:34

Mazze

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Zitat:

Folgt die erste Behauptung ( Existieren $\begin{eqnarray*} supA \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} supB \end{eqnarray*}$ , dann auch $\begin{eqnarray*} sup(A+B) \end{eqnarray*}$ ) einfach daraus, dass man ein $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ wählt, das die kleinste obere Schranke von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sei und ein $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ , das die kleinste obere Schranke von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sei und es laut Voraussetzung ja ein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ geben muss, für das gilt $\begin{eqnarray*} c=a+b \end{eqnarray*}$ ?

Das ist so nicht richtig und falsch formuliert. Nicht die c's existieren, sondern für alle c's für die es a und b gibt mit a + b = c ist c ein Element der Menge. Zudem kannst Du nicht annehmen das die Suprema in A und B liegen. Die Menge (0,1) hat zum Beispiel Supremum 1 , die 1 gehört aber nicht zur Menge selbst. Allerdings kannst Du den Beweis ähnlich führen.

Seien a und b jeweils die Suprema von A und B. Dann ist zu zeigen :

$\begin{eqnarray*} x \in A + B \Rightarrow x \leq a + b \end{eqnarray*}$

Wenn Du das hast, weisst Du das ein Supremum existiert. Wenn es nämlich eine obere Schranke gibt, so gibt es mit Sicherheit auch eine kleinste. Als zweites zeigst Du dann das tatsächlich a + b das Surpemum ist. Dazu nimmst Du an es gibt eine Zahl d mit

$\begin{eqnarray*} x \leq d \leq a + b ~ \forall x \in A + B \end{eqnarray*}$

und zeigst dass dann $\begin{eqnarray*} d = a + b \end{eqnarray*}$ gilt. Ich denke ein Beweis durch Widerspruch kann hier auch funktionieren.

17.11.2009, 17:35

thomasz

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Danke für die Antwort.

Ich habe jetzt es jetzt beim ersten Teil des Beweises auch mit einem Widerspruchsbeweis versucht.

Also angenommen es gilt $\begin{eqnarray*} x \geq a+b \end{eqnarray*}$

Daraus würden dann folgen, dass $\begin{eqnarray*} x \geq a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \geq b \end{eqnarray*}$ .

Da laut Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ aber Suprema sind, ist das ein Widerspruch.

Kann man das so machen?

Bei dem zweiten Teil ist mir nicht ganz klar, ob man bei einem Widerspruchsbeweis zwei Fälle durchgehen muss; also wenn $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ eben nicht gleich $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ man duch einerseits beweisen, dass $\begin{eqnarray*} d > a+b \end{eqnarray*}$ und/oder $\begin{eqnarray*} d > a+b \end{eqnarray*}$ ist (bzw., dass das eben gar nicht möglich ist).

17.11.2009, 21:35

Mazze

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Zitat:

Also angenommen es gilt $\begin{eqnarray*} x \geq a+b \end{eqnarray*}$

Daraus würden dann folgen, dass $\begin{eqnarray*} x \geq a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \geq b \end{eqnarray*}$ .

Da laut Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ aber Suprema sind, ist das ein Widerspruch.

Das ist falsch, denn Du hast nicht $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} x \in A + B \end{eqnarray*}$ , also ist es durchaus möglich dass

$\begin{eqnarray*} x \geq a, x \geq b \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} x \leq a + b \end{eqnarray*}$

Einfaches Beispiel :

Betrachte A = (0,1), B = (1,2). Und $\begin{eqnarray*} x = 2.5 \end{eqnarray*}$ , dieses x liegt in A + B , denn $\begin{eqnarray*} 0.6 + 1.9 = 2.5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0.6 \in (0,1), 1.9 \in (1,2) \end{eqnarray*}$ . Aber offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \geq 2 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} x \leq 1 + 2 \end{eqnarray*}$

Es ist viel einfacher. Sei $\begin{eqnarray*} x \in A + B \end{eqnarray*}$ dann gibt es, nach Definition

$\begin{eqnarray*} a_0 \in A, b_0 \in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_0 + b_0 = x \end{eqnarray*}$

Dann ist mit Sicherheit :

$\begin{eqnarray*} x = a_0 + b_0 \leq a + b_0 \leq a + b \end{eqnarray*}$

damit ist a + b eine obere Schranke, sprich das Supremum existiert.

Zitat:

Bei dem zweiten Teil ist mir nicht ganz klar, ob man bei einem Widerspruchsbeweis zwei Fälle durchgehen muss; also wenn $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ eben nicht gleich $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ man duch einerseits beweisen, dass $\begin{eqnarray*} d > a+b \end{eqnarray*}$ und/oder $\begin{eqnarray*} d > a+b \end{eqnarray*}$ ist (bzw., dass das eben gar nicht möglich ist).

d muss gleich a + b sein, da ja schon angenommen wurde dass $\begin{eqnarray*} d \leq a + b \end{eqnarray*}$ ist. Wenn d nicht gleich a + b wäre, dann wäre ja d echt kleiner als a + b und damit a+b nicht Supremum. Nein, Du musst aus

$\begin{eqnarray*} x \leq d \leq a + b ~ \forall x \in A + B \end{eqnarray*}$

folgern dass $\begin{eqnarray*} d = a + b \end{eqnarray*}$ ist.

18.11.2009, 12:18

thomasz

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Ok, also dann würde ich sagen, dass, wenn $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ Suprema sind, dann muss folgen, dass $\begin{eqnarray*} d=a+b \end{eqnarray*}$ ist.

Dann gilt also $\begin{eqnarray*} d \leq a+b \end{eqnarray*}$ ; und da $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ eine kleinste obere Schranke von $\begin{eqnarray*} A+B \end{eqnarray*}$ ist, und $\begin{eqnarray*} a+b \leq d \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ obere Schranke und $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ kleinste obere Schranke von $\begin{eqnarray*} A+B \end{eqnarray*}$ ist, folgt $\begin{eqnarray*} d=a+b \end{eqnarray*}$ .

18.11.2009, 15:32

Mazze

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Zitat:

Ok, also dann würde ich sagen, dass, wenn $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ Suprema sind

Das Supremum ist eindeutig, daher ist das Wort "Suprema" schon falsch. Sei d das Surpemum von A + B , dann gilt mit Sicherheit (nach dem ersten Aufgabenteil)

$\begin{eqnarray*} d \leq a + b \end{eqnarray*}$ oder anders $\begin{eqnarray*} \sup (A + B) \leq \sup A + \sup B \end{eqnarray*}$

Um zu zeigen das $\begin{eqnarray*} d = a + b \end{eqnarray*}$ ist, musst Du also nur noch $\begin{eqnarray*} d \geq a + b \end{eqnarray*}$ zeigen, ist Dir klar warum?

Dazu sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ dann ist

$\begin{eqnarray*} a - \frac{\varepsilon}{2} \leq a_0 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} b - \frac{\varepsilon}{2} \leq b_0 \end{eqnarray*}$ für bestimmte $\begin{eqnarray*} a_0 \in A, b_0 \in B \end{eqnarray*}$

So, bilde davon mal die Summe und schau Dir an was passiert!

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