Lineare Unabhängigkeit von Familien

17.11.2009, 18:17	9mb0	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit von Familien Hallo, Habe ein Problem mit folgender Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} x,y,z \end{eqnarray}$ linear unabhängige Vektoren eines $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Vektorraums V. Untersuchen Sie die folgenden Familien von Vektoren auf lineare Unabhängigkeit: { $\begin{eqnarray} {x+y+2z,x+2y+5z,5x+3y+4z} \end{eqnarray}$ },{ $\begin{eqnarray} {x+y,x-y,x-2y+z} \end{eqnarray}$ } also, ich muss ja jetzt prüfen, ob die beiden Familien linear unabhängig sind. Ein Kollege von mir meinte, dass man die erste Familie jetzt mit $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und die zweite Familie mit µ multiplizieren soll und dann die beiden ersten Vektoren addieren und gleich null setzen soll. Analog mit dem Rest. Und dieses Gleichungssystem lösen und prüfen ob $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und µ gleich Null die einzige Lösung dieses LGS ist. Ich bin damit nicht ganz glücklich, weiß aber nicht wie es sonst gehen sollte. Könnt ihr mir sagen, ob das richtig ist bzw. wie es sonst geht? Mfg 9mb0 edit: sorry, sollte natürlich in Lineare Algebra, wenns geht verschieben. Danke!
17.11.2009, 19:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Familie ist genau dann linear unabhängig, wenn gilt $\begin{eqnarray} \alpha(x+y+2z)+\beta (x+2y+5z)+\gamma (5x+3y+4z)=0 \Rightarrow \alpha=\beta=\gamma=0 \end{eqnarray}$ Genau so für das zweite Beispiel.
18.11.2009, 14:17	Sandra0305	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, heißt das man muss die drei folgenden 3 Gleichungen aufstellen: 1. $\begin{eqnarray} \alpha \ x+\beta x+\gamma 3x=0 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \alpha y+\beta2y+ \gamma3y =0 \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} \alpha2z+\beta5z +\gamma4z=0 \end{eqnarray}$ und dann dieses System auflösen oder?
18.11.2009, 19:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem "oder" hast du recht. Wenn du nicht drauf kommst, gebe ich dir den nächsten Hinweis. $\begin{eqnarray} \alpha(x+y+2z)+\beta (x+2y+5z)+\gamma (5x+3y+4z)=0 \Rightarrow x(\alpha +\beta +5\gamma )+y(\alpha +2\beta +3\gamma )+z(2\alpha +5\beta +4\gamma )=0 \Rightarrow ??? \end{eqnarray}$
19.11.2009, 18:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Voraussetzung sind $\begin{eqnarray} x,y,z \end{eqnarray}$ linear unabhängig, also gilt ???
20.11.2009, 18:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \alpha +\beta +5\gamma =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha +2\beta +3\gamma =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2\alpha +5\beta +4\gamma =0 \end{eqnarray}$ Dies ist ein lineares Gleichungssystem in $\begin{eqnarray} \alpha,\beta,\gamma \end{eqnarray}$ . Was folgt daraus ???
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21.11.2009, 13:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn wir dieses LGS mit dem Gaußschen Algorithmus lösen, so folgt daraus $\begin{eqnarray} \alpha=\beta=\gamma=0 \end{eqnarray}$ Insgesamt haben wir : Die Familie ist linear unabhängig. (Interessiert das noch jemanden? Jedenfalls kann man das, was ich hier gemacht habe als Musterlösung für derartige Aufgabe benutzen.)
21.11.2009, 13:14	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte beachte auch, dass es die Edit-Funktion gibt, wodurch lästige Doppelposts verhindert werden sollen. Wenn keiner antwortet, kannst du deine Antworten auch erstmal einstellen, da, wie wir es ja jetzt sehen, nur Posts von dir zu sehen sind. Falls die Aufgabenstellerin noch Interesse hat, dann wird sie sich zu Wort melden. In den seltensten Fällen wird sie am PC darauf warten, dass weitere Hinweise kommen - ohne gezielt zu fragen Grüße, VR

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