vollständige induktion

17.11.2009, 18:29

gruenerblob

vollständige induktion

hallo alle zusammen. ich habe ein problem mit der vollst. induktion.

$\begin{eqnarray*} (1-x) \prod_{k=0}^n~(1+x^{2^{n+1}}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1- x^{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

soll gezeigt werden. der induktionsanfang ist klar. nur beim induktionsschritt komm ich auf keinen grünen zweig.
$\begin{eqnarray*} \prod_{k=0}^{n+1}~k \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \prod_{k=0}^{n}~k *(n+1) \end{eqnarray*}$

also in dem fall konkret
$\begin{eqnarray*} (1- x^{2^{n+1}})*(n+1) \end{eqnarray*}$

und wenn ich des ausmultiplizier weiß ich i wie nimmer weiter

wär super wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.

gruß

17.11.2009, 19:16

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vollständige induktion

Zitat:

Original von gruenerblob
$\begin{eqnarray*} (1-x) \prod_{k=0}^n~(1+x^{2^{n+1}}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1- x^{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Könnte es sein, daß eigentlich $\begin{eqnarray*} (1-x) \prod_{k=0}^n~(1+x^{2^k}) = 1- x^{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ gemeint ist?

Zitat:

Original von gruenerblob
also in dem fall konkret
$\begin{eqnarray*} (1- x^{2^{n+1}})*(n+1) \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Im Induktionsschritt hast du es nicht mit $\begin{eqnarray*} \prod_{k=0}^{n+1}~k \end{eqnarray*}$ zu tun, sondern mit $\begin{eqnarray*} \prod_{k=0}^{n+1}~(1+x^{2^k}) \end{eqnarray*}$ .

17.11.2009, 19:32

gruenerblob

Auf diesen Beitrag antworten »

und wie wäre dann da die formel?

entschuldige aber ich sitz hier an meinen aufgaben 3 stunden und komm nicht vor und nicht zurück.

und ja du hast recht, es war so gemeint. hab mich vertipt. ^^

17.11.2009, 19:33

gruenerblob

Auf diesen Beitrag antworten »

oder warte mal,

wäre es dann nicht $\begin{eqnarray*} 1-x^{2^{n+1}} * 1-x^{2^{(n+1)+1}} \end{eqnarray*}$
?

gruß

17.11.2009, 19:43

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vollständige induktion
Nein. Erstens fehlen da Klammern und zweitens wie sieht der letzte Faktor des Produkts $\begin{eqnarray*} \prod_{k=0}^{n+1}~(1+x^{2^k}) \end{eqnarray*}$ aus?

17.11.2009, 19:45

gruenerblob

Auf diesen Beitrag antworten »

bin kurz einkaufen in 10 min wieder da. hoffentlich mit ner richtigen antwort Augenzwinkern

17.11.2009, 20:01

gruenerblob

Auf diesen Beitrag antworten »

ach ich glaub etz hab ichs
beim induktionsschritt setz ich dann einmal n und einmal n+1 ein richtig?

dann wär des
$\begin{eqnarray*} (1-x^{2^{n+1}}) * (1-x^{2^{n}}) \end{eqnarray*}$

stimmt des so?

17.11.2009, 20:29

gruenerblob

Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub ich habs etz.

also wie oben scho geschrieben nur mit dem prodzeichen davor. (weiß leider net genau wie des heißt).

und dann für $\begin{eqnarray*} 1-x^{2^{n}} \end{eqnarray*}$ die induktionsvorraussetzung einsetzen.

dann hab ich
$\begin{eqnarray*} (1-x^{2^{n+1}}) * (1-x^{2^{n+1}}) \end{eqnarray*}$

und das ist ja
$\begin{eqnarray*} 1-x^{2^{n+2}} \end{eqnarray*}$

so dürfte es doch eig richtig sein oder? würde zu mindest in meinen augen sinn machen. (heißt aber oft nicht viel Augenzwinkern

)

17.11.2009, 20:41

MLRS

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gruenerblob
also wie oben scho geschrieben nur mit dem prodzeichen davor. (weiß leider net genau wie des heißt).

einfach nur "\prod" Big Laugh

Du solltest deine Rechenschritte noch einmal schön übersichtlich hinschreiben - der Induktionsbeweis ist in diesem Fall nicht schwer

Du hast sicher einen positven Faktor und nicht 2 negative, wie in deinem letzten Beitrag

Also:
Induktionsanfang: hast du vermutlich
Induktionsvoraussetzung/hypothese: $\begin{eqnarray*} (1-x)\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k})=1-x^{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$
Induktionsschritt:
leite aus der IV die Behauptung für (n+1) her - eigentlich nur ein Schritt Augenzwinkern

Am Ende solltest du das haben: $\begin{eqnarray*} (1-x)\prod_{k=0}^{n+1}(1+x^{2^k})=... \end{eqnarray*}$

PS:

Zitat:

Original von gruenerblob
$\begin{eqnarray*} (1-x^{2^{n+1}}) * (1-x^{2^{n+1}}) \end{eqnarray*}$
und das ist ja
$\begin{eqnarray*} 1-x^{2^{n+2}} \end{eqnarray*}$

Nein!

17.11.2009, 21:03

gruenerblob

Auf diesen Beitrag antworten »

also sorry ich begreif langsam gar nichts mehr

$\begin{eqnarray*} (1-x)*\prod_{k=0}^{n+1}~(1+x^{2^{k}}) \end{eqnarray*}$

was ist das denn jetzt?

... hilft mir nur leider net weiter und ich hab noch ewig viel andere aufgaben zu machen...

$\begin{eqnarray*} (1-x)*\prod_{k=0}^{n}~(1+x^{2^{k}}) * (1+x^{2^{k+1}}) \end{eqnarray*}$

so wäre etz immer noch mein ansatz.....

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=0}^{n}~(1+x^{2^{k}}) \end{eqnarray*}$

kann ich doch gleich der IV setzten oder net? zumindest stehts in manchen online hilfen etc.

dann komm ich auf
$\begin{eqnarray*} (1-x)* (1+x^{2^{k+1}})* (1+x^{2^{k+1}}) \end{eqnarray*}$

und weiß wieder net weiter.

wär super wenn mir das jemand erklären könnte. "eigentlich nur ein schritt" is vielleicht nett gemeint aber bringt mir leider wie gesagt gar nix.

gruß

17.11.2009, 21:14

MLRS

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gruenerblob
$\begin{eqnarray*} (1-x)*\prod_{k=0}^{n}~(1+x^{2^{k}}) * (1+x^{2^{k+1}}) \end{eqnarray*}$

Du musst jetzt den ganzen ersten Teil durch die IV ersetzen...

War wohl ein Flüchtigkeitsfehler, aber so kommst du nie zum Ziel Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \underbrace{(1-x)*\prod_{k=0}^{n}~(1+x^{2^{k}})}_{durch IV ersetzen}* (1+x^{2^{k+1}}) \end{eqnarray*}$

Durchs Ersetzten hast du jetzt:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{(1-x^{2^{n+1}})}_{IV}\cdot \underbrace{(1+x^{2^{k+1}})}_{(n+1)ter Term,} \end{eqnarray*}$

Erinner dich an die 3. binomische Formel Augenzwinkern

17.11.2009, 21:22

gruenerblob

Auf diesen Beitrag antworten »

asoooo.

$\begin{eqnarray*} (1-x^{2^{k+1}})* (1+x^{2^{k+1}}) \end{eqnarray*}$

und in der binomischen formel dann

$\begin{eqnarray*} 1^2 - (x^{2^{k+1}})^2 \end{eqnarray*}$

was ja dann

$\begin{eqnarray*} 1 - (x^{2^{k+2}}) \end{eqnarray*}$

ist.

was ja dann die IV ist wenn man für n n+1 einsetzt.

17.11.2009, 21:37

MLRS

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig

17.11.2009, 21:44

gruenerblob

Auf diesen Beitrag antworten »

dankeeeee!!

18.11.2009, 08:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MLRS
$\begin{eqnarray*} \underbrace{(1-x^{2^{n+1}})}_{IV}\cdot \underbrace{(1+x^{2^{k+1}})}_{(n+1)ter Term,} \end{eqnarray*}$

Falsch. Der (n+1)te Term lautet: $\begin{eqnarray*} (1+x^{2^{n+1}}) \end{eqnarray*}$

In der Folge muß es dann heißen:

$\begin{eqnarray*} (1-x^{2^{n+1}}) \cdot (1+x^{2^{n+1}}) = (1-x^{2^{n+2}}) \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

vollständige induktion

Verwandte Themen