Konvergenz mit Beschränktheit und Monotonie zeigen

17.11.2009, 19:39

Smaartis

Konvergenz mit Beschränktheit und Monotonie zeigen

Meine Folge ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~(\frac{1}{k+n}) \end{eqnarray*}$

Ich habe sie abgeschätzt, nämlich:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~(\frac{1}{1+n}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~(\frac{1}{k+n}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~(\frac{1}{n+1+n}) \end{eqnarray*}$

somit habe ich:

$\begin{eqnarray*} (n+1) \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~(\frac{1}{k+n}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2n+1} \end{eqnarray*}$

D.h

für n gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ :

1 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~(\frac{1}{k+n} ) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

damit ist die Folge schon mal beschränkt.

Wenn ich für n=1 und n=2 einsetze, zeigt sich, dass die Folge vermutlich monoton fällt.

Beim Beweis(!) der Monotonie steh ich jetzt aber an...

17.11.2009, 19:47

Dual Space

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RE: Konvergenz mit Beschränktheit und Monotonie zeigen
Alle Summanden sind (strikt) positiv. Wie sollte die Folge denn dann nicht monoton (wachsend) sein? verwirrt

17.11.2009, 20:07

Smaartis

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RE: Konvergenz mit Beschränktheit und Monotonie zeigen
Sie wächst eben nicht!

Wenn du für n=1 einsetzt und dann für n=2, dann erhälst du erstens $\begin{eqnarray*} \frac{5}{6} \end{eqnarray*}$ und zweitens $\begin{eqnarray*} \frac{47}{60} \end{eqnarray*}$ und somit ist das zweite Glied kleiner als das erste, die Folge fällt.

Jetzt brauch ich halt noch den Beweis...

17.11.2009, 20:32

Lord Pünktchen

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RE: Konvergenz mit Beschränktheit und Monotonie zeigen
Mein erster Ansatz wäre folgende Identität:

$\begin{eqnarray*} \frac{1} {k+(n+1)} = \frac{1}{k+n} - \frac{1}{(k+n)\cdot (k+(n+1))} \end{eqnarray*}$

17.11.2009, 21:19

Smaartis

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RE: Konvergenz mit Beschränktheit und Monotonie zeigen
Wie kommst du denn darauf?

Man darf doch die Summe nicht vergessen!

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~(\frac{1}{k+n}) \geq \sum_{k=1}^{n+1+1}~(\frac{1}{k+n+1}) \end{eqnarray*}$

Ich hab dann mit Indizes verändern herumprobiert:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}~(\frac{1}{k+n+1}) \geq \sum_{k=0}^{n}~(\frac{1}{k+n+2})+(\frac{1}{2n+3}) \end{eqnarray*}$

Anders hingeschrieben ist das

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n+1} \geq \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n+1} +\frac{1}{2n+2} +\frac{1}{2n+3} \end{eqnarray*}$

was wiederum nichts anderes ist als:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \geq \frac{1}{2(n+1)} +\frac{1}{2(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

naja, und dann rechts $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ herausheben, auf beiden Seiten subtrahieren, dann steht da:

$\begin{eqnarray*} 1\geq (\frac{1}{2} + \frac{1}{2+\frac{1}{n+1}}) \end{eqnarray*}$

Wenn das stimmt, müsste es doch passen, oder?

Stimmt das überhaupt ? verwirrt

18.11.2009, 19:50

Dual Space

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RE: Konvergenz mit Beschränktheit und Monotonie zeigen

Zitat:

Original von Smaartis
Sie wächst eben nicht!

Da hast du natürlich recht ... hatte das n im Nenner vollkommen irgnoriert - sorry.

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