Konvergenzradius

17.11.2009, 21:03

Marv89

Konvergenzradius

Für diese Potenzreihen soll der Konvergenzradius bestimmt werden.

a) $\begin{eqnarray*} \sum_{k\geq 0}^\infty ~\beta ^{\sqrt{n} } x^{n}\ \ \ \ \ \ \ \beta >0 \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~\frac{x^{2n+1} }{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^\infty ~\frac{x^{2m} }{(2m)!} \end{eqnarray*}$

Zu Aufgabe c hab ich mir mal was überlegt:
könnte ich sagen $\begin{eqnarray*} x^2=z \end{eqnarray*}$ ?

Dann steht da:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~\frac{z^{m} }{(2m)!} \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte man ja die Formel anwenden:
$\begin{eqnarray*} R=\lim_{n \to \infty } \frac{a_n}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R=\lim_{m \to \infty } \frac{1}{2m!} \cdot \frac{(2m+1)!}{1} = 2m+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | x^2 | < 2m+1 \Rightarrow | x | < \sqrt{2m+1} \end{eqnarray*}$

Folgert dann daraus, dass der Konvergenzradius der Reihe unendlich ist?
Könnte ich das bei b) ähnlich machen? Obwohl mich da die +1 in der Potenz stört.

Vllt könnt ihr mir ein bisschen helfen....vllt auch ein Tipp für a) geben. Vielen dank schon mal!

17.11.2009, 23:29

Abakus

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RE: Konvergenzradius
Hallo!

Bei a) solltest du deine Formel benutzen können, versuche es mal (statt k müsste da n stehen als Index).

Grüße Abakus smile

18.11.2009, 10:31

Marv89

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@ Abakus

Zitat:

statt k müsste da n stehen als Index

jo stimmt, da hab ich mich verschrieben

Zitat:

Bei a) solltest du deine Formel benutzen können

hmm...aber das hatte ich schon versucht:
$\begin{eqnarray*} R=\lim_{n \to \infty } \frac{\beta ^{\sqrt{n} } }{\beta ^{\sqrt{n+1} } }<br /> \end{eqnarray*}$
aber wie gehts weiter? kp wie ich weiter kürzen kann... Hammer

Noch eine Überlegung zu b).
$\begin{eqnarray*} R=\lim_{n \to \infty } \frac{z}{(2n+1)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{z} = 2n+2 \to\infty \end{eqnarray*}$
Da man jetzt aber nur $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ betrachtet, müsste man ja von unendlich die Wurzel ziehen.
Das wäre aber auch wieder unendlich. Also schließe ich daraus, dass der Konvergenzradius unendlich ist.
Ist das so korrekt für b) und c)?

18.11.2009, 20:05

Abakus

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Zitat:

Original von Marv89
hmm...aber das hatte ich schon versucht:
$\begin{eqnarray*} R=\lim_{n \to \infty } \frac{\beta ^{\sqrt{n} } }{\beta ^{\sqrt{n+1} } }<br /> \end{eqnarray*}$
aber wie gehts weiter? kp wie ich weiter kürzen kann... Hammer

Erstmal das hier:

$\begin{eqnarray*} R=\lim_{n \to \infty } \frac{\beta^{\sqrt{n}}}{\beta^{\sqrt{n+1}}} = \lim_{n \to \infty } \beta^{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

Statt diesem Term kannst du nun auch den Logarithmus dazu betrachten.

Grüße Abakus smile

19.11.2009, 00:01

Marv89

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hmm kann mit logarithmus nicht wirklich was anfangen...
würde das auch so gehen?
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\beta^{\sqrt{n}}} = (\beta ^{\sqrt{n}})^{\frac{1}{n}} = \beta^{\sqrt{n}\cdot \frac{1}{n}} = \beta ^{\frac{\sqrt{n}}{n}} = \beta ^{n^{\frac{1}{2}}\cdot n^{-1}} = \beta ^{n^{-\frac{1}{2}}} = \beta ^{\frac{1}{\sqrt{n}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n->\infty }\beta ^{\frac{1}{\sqrt{n}}}= \beta ^{0} = 1 \end{eqnarray*}$

Konvergenzradius ist 1.

19.11.2009, 10:03

Marv89

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ich glaube ich hab das nicht so toll hingeschrieben:
Habe die Formel angewendet:
$\begin{eqnarray*} R= \frac{1}{\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{|a_n|} } \end{eqnarray*}$

dann steht da zum Schluss ja:
$\begin{eqnarray*} R= \frac{1}{1} = 1 \end{eqnarray*}$

Deswegen ist der Konvergenzradius 1.
Glaube so ist es verständlicher.

20.11.2009, 00:49

Abakus

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OK, so geht es auch.

Grüße Abakus smile

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