Klassiker: Vektorraum

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Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »
Klassiker: Vektorraum
Hallo liebe Mathematiker ...

so nun sitze ich hier und mir will nicht recht einleuchten was ein Vektorraum und ein Untervektorraum ist. Der Klassiker der Fragen eben ;-)

Habe:

a) Wikipedia Definitionen gelesen und einigermaßen verstanden

b) Hier im Forum gesucht, bin aber nicht sooo schlau geworden


Jetzt möchte ich einfach mal in meinen Worten das Wiedergeben was ich gedenken zu mag, was ein Vektorraum ist. (wow toller satz :-D gedenken zu mag ^^). Ich beziehe mich da dann auch auf Wikipedia...Zwischendruch werde ich dann Fragen reinholzen...



Die Elemente eines Vektorraums sind die Vektoren.

Weiter: Diese Vektoren können nun addiert werden oder mit einem Skalar multipliziert werden und ich erhalte eben einen neuen Vektor, der aber auch zu diesem Vektorraum gehört.

Die Skalare, mit denen ich die Vektoren multiplizieren kann, stammen aus einem Körper (z.B. Körper der reellen Zahlen). Wie gesagt erhalte ich dann einen neuen Vektor der auch zum Raum gehört. Bei der Skalarmultiplikation müssen dann auch noch bestimme Regeln erfüllt sein:

  • Assoziativität : Klammern vertauschen
  • Ausmultiplizieren möglich in beide Richtungen (1. 2 Vektoren und 1 Skalar 2. 2 Skalare und 1 Vektor)
  • Und dass wenn ich den Vektor mit 1 multipliziere, ich den selben Vektor erhalte.




Nun gibt es bei Wikipedia noch die Definition, dass der Vektorraum eine additive abelsche Gruppe ist (V,+) , bei der ich nun auch noch die Gruppe mit einem Skalar multiplizieren kann und dann eben wieder obige Regeln beachten muss.

1. Bei der abelschen Gruppe steht in der Klammer das V nun also für die Elemente: Vektoren, nur das + irritiert mich, das bedeutet praktisch was ich oben geschrieben habe:
Zitat:
(Weiter: Diese Vektoren können nun addiert [werden])
Nämlich dass ich die Vektoren nach den Gesetzen einer abelschen Gruppe Addieren kann? Und zu dem, dass ich die Vektoren addieren kann, kommt nun also noch eine Skalarmultiplikation hinzu?



Die Skalare stammen auch hier aus einem Körper (K,+,*)

2.Warum kann ich nicht einfach sagen dass die Skalare aus der Menge der z.B. reellen Zahlen oder z.B. der komplexen Zahlen stammen? Warum benötige ich da den Ausdruck Körper (also zusätzlich Verknüpfungen mit + und * ),weil die Verknüpfungen bringen mir doch nichts?



Oben hatte ich geschrieben:

Zitat:
Die Elemente eines Vektorraums sind die Vektoren.


3.Es gibt ja auch den Vektorraum der Polynome, hier sind doch die Elemente keine Vektoren, sondern Funktionen??? Ich dachte im Vektorraum kommen nun nur noch Vektoren vor?

Habe bei Wikipedia den Begriff Funktionenraum entdeckt, dieser kann auch ein Vektorraum sein, genau hier wären ja dann auch die Funktionen Elemente des Vektorraums?



Bevor ich mit Untervektorräumen fortfahre, sollte ich glaub ich erstmal oberes erklären.

Wäre super wenn mir jemand das alles erklären könnte, dass hilft vielleicht auch anderen weiter die einen allgemeinen Thread suchen, wo das verständlich erklärt ist...

Bitte auch auf die Punkte eingehen....

Vielen Dank für die große Mühe!

sagt Physinetz

Habe Dich wieder einmal verfrachtet, zum Thema kann ich leider nichts sagen.
Gruß, Gualtiero
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

1.)
Ja die Addition der Vektoren ist die Addition in der Gruppe

2.)
Bei der Definition der skalaren Multiplikation wird sowohl das + als auch das * vom Körper benutzt. Lies nochmal genau nach.
Jetzt könntest du natürlich einwenden dass ein Ring genauso gut + und * besitzt, man also auch einen Ring statt einen Körper nehmen könnte. In diesem Fall bekommt man einen Modul, der hat nicht so tolle Eigenschaften wie Vektorräume(z.B. gibt es in Moduln nicht immer eine Basis)

Warum benutzt man also nicht gleich die reellen Zahlen/komplexen Zahlen:
Könnte man, man versucht es aber gleich so allgemein wie möglich zu formulieren. Das tolle ist: Für die meisten Sätze braucht man die Eigenschaft dass man den Grundkörper als die reellen Zahlen/komplexen Zahlen hat nicht. Man kann die Sätze also für alle Körper beweisen!
Nur einige wenige benötigen tatsächlich einen bestimmten Körper

3.)
Deine Vorstellung von Vektoren ist falsch. Vektoren sind nicht irgendwelche Tupel sondern einfach Elemente des Vektorraums!
Das können Polynome sein, oder Mengen, oder sonst irgendwas. Und im Spezialfall des Vektorraums mit K dem Grundkörper sind es eben Tupel, die Vektoren die du aus der Schule kennst.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
2.)
Bei der Definition der skalaren Multiplikation wird sowohl das + als auch das * vom Körper benutzt.


Zitat:
Bei der Skalarmultiplikation wird jeweils ein Vektor mit einem Element des Körpers K, über dem der Vektorraum V definiert ist, multipliziert, wobei man als Ergebnis wieder einen Vektor erhält.
Zitat Wikipedia


Ich habe hier doch nur die Multiplikation laut Wikipedia. Wie will ich denn auch bei der skalaren Multiplikation die Addition verwenden? Kommt es bei der Regel "Ausmultiplizieren" vor?

Also hier:

mit alpha von Elemement von K und u,v Element von V

Durch den Körper bekomme ich praktisch erst die Verknüpfung mit +?

Zitat:
Deine Vorstellung von Vektoren ist falsch. Vektoren sind nicht irgendwelche Tupel sondern einfach Elemente des Vektorraums!


Für mich sind Vektoren eben "die Pfeile" , würde man umgangssprachlich sagen? Wieso sollte ich die Vorstellung von Tupeln haben?
Wie können Polynome nun also "Pfeile" sein?


Bezeichnet man einfach ALLE Elemente, die in einem Vektorraum vorkommen als Vektoren? Also die Pfeile, die Funktionen etc. ?

Woher kommt dann bei mir die Vorstellung, dass Vektoren "Pfeile" sind, also mit Betrag, Orientierung und Richtung? Das dachte ich immer seien Vektoren, und nun heißt es: Alles was im Vektorraum ist sind Vektoren...

Bitte um Aufklärung, Danke !


PS: Wenn ich nämlich bei Wikipedia nach "Vektor" schaue, sehe ich da nur meine "Pfeildarstellung", deshalb mein Bild von Vektor als Pfeil


PS 2: Wenn ich Funktionen als Vektoren bezeichne, dann habe ich ja praktisch Kurven im Vektorraum? Also Krumme "Vektoren" ...Oder sollte ich mich vom Bild des Vektors als Pfeil verabschieden und einfach einsehen das Vektoren auch Funktionen sind im Vektorraum und ich eben dann keine Pfeile habe bei Funktionen?

PS 3:

Wenn ich Funktionen als Vektoren ansehe im Vektorraum, heißt das, dass ich die Funktionen mit einem Skalar multiplizieren kann? Wo liegt da der Unterschied zu einem R³ Raum, hier kann ich ja auch einfach Vektoren addieren etc...?

PS 4:

Heißt das, dass der Vektorraum praktisch übergeordnet ist, und R³ ein Unterraum wäre? Also irgendwie eine Teilmenge davon?


Gruß Physinetz...ich glaub jetzt nach 3 Änderungen fällt mir keine Frage mehr ein ^^
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst sehr genau zwischen den Verknüpfungen unterscheiden!
Sei die Addition im Vektorraum, die skalare Multiplikation und Addition und Multiplikation im Körper.

Dann muss gelten:

.

Du siehst also, beide Verknüpfungen des Körpers braucht man, die beiden Additionen bzw. Multiplikationen haben im Allgemeinen nichts miteinander zu tun.

Zitat aus Wikipedia, Seite "Vektor", erster Satz:
"Ein Vektor [..] ist in der Mathematik ein Element eines Vektorraums."

So und das wars. Nicht mehr. Keine Pfeile und auch sonst nichts, einfach Elemente der Grundmenge.

Woher kommt also diese Vorstellung von Vektoren die du hast:
In der Schule werden nur die Vektorräume und betrachtet. Hier sind die Elemente eben Tupel, oder in deiner Vorstellung eben: Pfeile.

Den kann man natürlich in den Vektorraum aller Funktionen von R->R einbetten, den der Vektorraum der Funktionen ist unendlich dimensional!
Allein aus dieser Tatsache kann man sich die Vektoren nicht mehr als Pfeile vorstellen.

Für endlich-dimensionale K-VR der Dimension n gilt allerdings immer dass sie isomorph zu K^n sind, d.h. sie "sehen" genauso aus.

@PS2: Hör auf dir irgendwie was vorstellen zu wollen...

@PS3: Klar kannst du Funktionen mit einem Skalar multiplizieren, hast du schon tausende mal in der Schule gemacht.
Es sollte klar sein was c*f(x) bedeutet.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Also zu für mein Verständnis nochmal:

Ein Vektorraum über einem Körper (K,+,*) ist eine

additive abelsche Gruppe , d.h. ich habe die Menge der Vektoren und diese werden vektoriell addiert(dafür steht ) nach den Gesetzen der abelschen Gruppe

zusätzlich kommt noch, dass ich die Elemente der Vektoren sklar multiplizieren kann. Und dieses Skalar stammt aus dem Körper. Und wenn dies zutrifft dann müssen bei der skalaren Multiplikation eben folgende Regeln erfüllt sein:



und



Letztlich bekomm ich dann immer für die Vektoraddition (abelsche Gruppe) und für die Sklarmultiplikation , einen neuen Vektor heraus, der ebenfalls Element des Vektorraums ist.


Stimmt das jetzt so Kiste?


Zum Thema Untervektorraum:

Das ist eben nun eine Teilmenge des Vektorraums. Diese Teilmenge ist selber auch wieder ein Vektorraum (d.h. es gelten die gleichen Gesetze mit Vektoraddition und skalarer Multiplikation) . Und wenn ich die Gesetze/Regeln anwende, bekomme ich wieder einen neuen Vektor, der wiederrum ein Element des Untervektorraums sein muss. Das Skalar stammt übrigens aus dem gleichen Körper wie beim Vektorraum.

Richtig?


Also was lineare Hülle, Erzeugendensystem und Basis ist, habe ich glaube ich verstanden...Dann dürfte ich mal meine Aufgabe ins Forum reinschreiben :-D, da ich hoffe die Grundlagen verstanden zu haben, oder?

Gruß Physi
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Physinetz

Stimmt das jetzt so Kiste?
Ja
Dem Rest kann ich auch nichts falsches entnehmen.
 
 
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