Maximale und prime Ideale

17.11.2009, 23:19	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximale und prime Ideale Hallo! Man betrachte folgenden Ring: $\begin{eqnarray} R=\mathbb Z[i \sqrt 5] \end{eqnarray}$ Zu zeigen: $\begin{eqnarray} M=\langle 2, 1 + i \sqrt 5 \rangle \end{eqnarray}$ ist ein maximales Ideal und daher ein primes Ideal. Es reicht zu zeigen, dass das Ideal maximal ist, da prim hier daraus folgt. Wie ich es versucht hätte: Angenommen: Es gäbe ein Ideal $\begin{eqnarray} I \neq R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} I \supset M \end{eqnarray}$ , dann gibt es ein $\begin{eqnarray} b \in I \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b {\not\in} M \end{eqnarray}$ . Jetzt soll das zu einem Widerspruch geführt werden. Jedoch komme ich hier nicht weiter. Wie könnte man das einfach zeigen?
17.11.2009, 23:28	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja wir wollen ja irgendwie die 1 im Ideal konstruieren. Das könnte mit ein paar Fallunterscheidungen wohl zu erreichen sein(habs nicht gerechnet) Nehmen einfach an b hat die Form b = c+disqrt(5)
17.11.2009, 23:37	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie mach ich das? Wie komme ich von "b ist kein Element von M" (also b kann nicht als "Linearkombination" von 2 und 1+i sqrt(5) dargestellt werden) zu "1 ist in I"?
17.11.2009, 23:57	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab doch geschrieben dass das nur eine Art der möglichen Vorgehensweise ist und ich es nicht durchgerechnet habe. Man könnte zum Beispiel ein paar erste Eigenschaften für c und d herleiten: Zum Beispiel dürfen c und d nicht gleichzeitig gerade sein sonst wäre b in M. Wenn c gerade ist dann ist also d ungerade. Damit ist aber auch disqrt(5) in I da wir ja ein paar mal 2 dazu addieren oder subtrahieren können. Damit ist -d^2*5 in I und damit.... Naja so nach dem Schema einfach weiterdenken. Keine Ahnung ob man durchkommt, zumindest den Fall c gerade hab ich jetzt schon mal zum Widerspruch gebracht

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