Interessante exponentielle/logarithmische Formeln in der Natur

17.11.2009, 23:27	theduke	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessante exponentielle/logarithmische Formeln in der Natur Erst mal ein freundliches Hallo ans Matheboard, ist mein erster Post hier. Ich suche nach interessanten/überraschenden Exponential/Logarithmusfunktionen die in der Natur vorkommen. In keinem bestimmten Zusammenhang, alles ist mir recht... Vielleicht ist ja wer von euch über ein paar Beispiele gestolpert. Danke Vorwerg. theduke
17.11.2009, 23:38	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interessante exponentielle/logarithmische Formeln in der Natur Hallo! Vielleicht gefallen dir ja Spiralen (Wiki). Grüße Abakus PS: willkommen im Board
19.11.2009, 02:26	derMatze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin im damaligen Mathematikunterricht gestolpert. Der Schaum auf nem gezapften Bier soll exponentiell weniger werden. Ich hoffe du verstehst meine Formulierung...
19.11.2009, 08:14	Kopfrechner	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Logarithmusabhängigkeiten: Sinneswahrnehmung: Auge und Ohr reagieren logarithmisch auf einfallende Reize Stichwort dazu: Weber-Fechnersches Gesetz Bei Filmen/ Kamerasensoren spielt dies eine Rolle. Bei Schallmessung/ Lautstärkeangaben wichtig In der Nachrichtentechnik Übertragungsverluste bei Koaxialkabeln oder Lichtwellenleitern ("Glasfaser") ebenfalls Angaben mit dB
19.11.2009, 09:33	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmische Abhängigkeiten tauchen immer dort auf, wo eine quantitative Größe (z.B. Anzahl, Gewicht, Druck, Geschwindigkeit ...) proportional zur 1.Ableitung dieser Größe ist. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Beispiel 1: Angenommen im Labor wurde eine Bakterienkultur gezüchtet. Dann gilt: Je mehr Baktereien bereits da sind, um mehr "Nachkommen" entstehen pro Zeit (bei unbegrenztem "Futter"). In der Sprache der Mathematik heßt der letzte Satz: Die Anzahl N der Bakterien ist proportional zu deren 1.Anleitung dN/dt. Das ergibt folgende Differentialgleichung $\begin{eqnarray} \alpha \cdot N=\frac {dN}{dt} \end{eqnarray}$ Hierbei ist $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ein Probortionalitätsfaktor, der ein Maß die "Gebärfreudigkeit" der Bakterien ist. Mit der Anfangsbedingung $\begin{eqnarray} N(0)=N_0 \end{eqnarray}$ lautet die Lösung offenbar $\begin{eqnarray} N(t)=N_0\cdot e^{\alpha \cdot t} \end{eqnarray}$ Die Anzahl der Bakterien wächst also exponentiell. Nach Division durch N kann man die obige Differntialgleichung auch in der Form schreiben $\begin{eqnarray} \alpha=\frac {d} {dt} ln[N(t)] \end{eqnarray}$ Mit anderen Worten: Die 1.Ableitung des Logarithmus ln[N(t)] bleibt während des Wachstums konstant. Oder Nach Integration: $\begin{eqnarray} \alpha \cdot t= ln[N(t)] \end{eqnarray}$ Der Logarithmus von N(t) wächst also zeitlich linear. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Beispiel 2: In einem Druckbehälter (z.B. Fahrradschlauch) ist ein kleines Loch, so dass die Luft abzischt. Dann ist die die Druckannahme pro Zeit proportional zum momentanen Druck. In der Sprache der Mathematik heißt der letzte Satz: Der Druck ist proportional zur 1.Ableitung des Druckes. Das ist gleichbedeutend mit der Differentialgleichung $\begin{eqnarray} \alpha \cdot p=-\frac {dp}{dt} \end{eqnarray}$ Auf der rechten Seite steht ein Minuszeichen, weil der Druck abnimmt, d.h. die Ableitung dp/dt ist negativ. Die Konstante $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist wieder ein Probortionalitätsfaktor, der ein Maß für die Schnelligkeit des Druckverlustes ist (Größe des Loches). Mit der Anfangsbedingung $\begin{eqnarray} p(0)=p_0 \end{eqnarray}$ lautet die Lösung offenbar $\begin{eqnarray} p(t)=p_0\cdot e^{-\alpha \cdot t} \end{eqnarray}$ Der Luftdruck nimmt also exponentiell ab. Nach Division durch p(t) kann man die obige Differentialgleichung wieder in der Form schreiben $\begin{eqnarray} -\alpha=\frac {d} {dt} ln[p(t)] \end{eqnarray}$ Mit anderen Worten: Die 1.Ableitung des Logarithmus des Druckes p(t) bleibt während des "Abzischens" konstant. Oder Nach Integration: $\begin{eqnarray} -\alpha \cdot t= ln[p(t)] \end{eqnarray}$ Also der Logarithmus von p(t) nimmt zeitlich linear ab. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Beispiel 3: Ähnliche Situationen findet man z.B. beim Bremsvorgang eines Autos, wenn die Reibungskraft (=Bremskraft) proportional der Geschwindigkeit ist. Dann gilt für die Geschwindigkeit nach dem newtonschen Grundgesetz (Kraft=MasseBeschelunigung): $\begin{eqnarray} - \beta \cdot v(t)=m \frac {dv} {dt} \end{eqnarray}$ Hier ist $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray*}$ der "Reibungskoeffizient", der ein Maß für die Wirksamkeit der Bremse (oder Reibung) ist. Die Größe m ist die Masse, die gebremst wird. Die Rechnung verläuft wie in Beispiel 2. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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