Vollständige Inuktion bei Brüchen

17.11.2009, 23:31

Anna 1987

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Vollständige Inuktion bei Brüchen

Hallo, kann mir jemand weiterhelfen?
Ich soll mittels vollständiger Induktion folgende Identität beweisen:
Für jedes N aus den natürlichen Zahlen gilt:
Summenzeichen(darüber steht 2n+1, darunter steht k=2) 1/k(k+1)= n/2n+2

Ich habe zunächst die Richtigkeit für den Induktionsanfang mit n=2 bewiesen, da 1/3=1/3.

Nun fällt es mir aber schwer den Induktionsschritt zu machen. Was ist denn genau zu zeigen?
Meiner Meinung nach muss man zeigen, dass gilt:

(Summenzeichen (darüber müsste 2n+3 stehen, darunter k=2) 1/k(k+1))+
1/2n+3(2n+4) = n+1/2n+4

Ist das so korrekt, oder was muss ich zeigen, wenn ich den Induktionsschritt für n+1 machen will?

LG Anna

18.11.2009, 00:52

mYthos

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Nein, so stimmt das nicht. Infolge des 2n+1 im Laufindex muss das (n+1)te Summenglied aus zwei Summanden bestehen. Du hast ja auch bei n = 2 insgesamt 4 Summanden zu addieren gehabt:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 6 + \frac 1 {12} + \frac 1 {20} + \frac 1 {30} = \frac 1 3 \end{eqnarray*}$

Es ist also zu zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac n {2n+2} + \frac 1 {(2n+2)(2n+3)} + \frac 1 {(2n+3)(2n+4)} = \frac{n+1}{2(n+1)+2} \end{eqnarray*}$

Die Richtigkeit dieser Gleichung kann nun mittels Multiplikation mit dem Hauptnenner leicht gezeigt werden.

mY+

18.11.2009, 18:19

Anna 1987

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Danke, das habe ich mitlerweile auch schon gemerkt, nur bekomme ich die Addition der Brüche leider nicht soweit umgeformt, dass ich nachher n+1/2n+4 erhalte.
Wie mache ich das denn am geschicktesten?

18.11.2009, 18:40

Anna 1987

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Mein Problem ist es, dass ich wahrscheinlich total den Überblick verliere. Ich habe die Brüche zunächst auf einen Bruchstrich gebracht und bestimmt schon 20 Seiten vollgeschrieben, aber ich bekomme das nachher nicht zu n+1/2n+2 umgeformt

18.11.2009, 18:47

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Du kannst dir einiges an Schreibarbeit sparen, wenn du in

$\begin{eqnarray*} \frac n {2n+2} + \left( \frac 1 {(2n+2)(2n+3)} + \frac 1 {(2n+3)(2n+4)} \right) \end{eqnarray*}$

erst die große Klammer zusammenfasst, also auf einen Hauptnenner bringst und dann schon mal kürzt. Erst dann das Ergebnis zum verbleibenden $\begin{eqnarray*} \frac n {2n+2} \end{eqnarray*}$ addieren.

Zitat:

Original von Anna 1987
aber ich bekomme das nachher nicht zu n+1/2n+2 umgeformt

Ist auch kein Wunder, denn das gewünschte Ergebnis ist weder n+1/2n+2 noch (n+1)/(2n+2), sondern wie oben bereits erwähnt (n+1)/(2(n+1)+2) = (n+1)/(2n+4) .

18.11.2009, 18:59

Anna 1987

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Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac n {2n+2} + \left( \frac (2n+4)(2n+2) {(2n+2)(2n+3)(2n+4)} \right) \end{eqnarray*}$

richtig?
Und was bringt mir das jetzt?

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18.11.2009, 19:04

Anna 1987

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Sorry, bekomme das mit Latex nicht hin. dann halt so:

n/2n+2 + [2n+4+2n+2/(2n+2)(2n+3)(2n+4)]

richtig?
Und was bringt mir das jetzt?
Soll ich die Klammern im Nenner gleich ausmultiplizieren?

18.11.2009, 19:11

Anna 1987

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Wenn ich die Klammern ausmultipliziere erhalte ich ja:

n/2n+2 + (4n+6/8n hoch 3 + 36 n Quadrat + 52 n +24)

Sehe nicht, was mir das jetzt bringen soll ??

18.11.2009, 19:15

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Augen auf: $\begin{eqnarray*} 4n+6 = 2(2n+3) \end{eqnarray*}$

Und dann kürzen, wie ich es gesagt habe. Du bist ja geradezu versessen auf dieses vollkommen sinnlose Ausmultiplizieren des Nenners - wer hat dir denn den Unsinn erzählt, dass das irgendwas bringt?

18.11.2009, 19:19

Anna 1987

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Dann habe ich:

n/2n+2 + [ 2/(2n+2)(2n+4)]
richtig?

18.11.2009, 19:22

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Entweder du entscheidest dich, richtig in LaTeX mit Bruchstrich zu posten, oder aber als Text mit ordentlich gesetzten Klammern. Solange du das nicht tust, muss ich deine Frage

Zitat:

Original von Anna 1987
n/2n+2 + [ 2/(2n+2)(2n+4)]
richtig?

mit einem klaren "Nein" beantworten.

18.11.2009, 19:30

Anna 1987

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Sorry, ich meinte:
n/(2n+2) + 2/(2n+2)(2n+4)

Ist das denn richtig so?

18.11.2009, 19:45

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Streng genommen immer noch nicht, denn das wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2n+2} + \frac{2}{2n+2}(2n+4) \end{eqnarray*}$

statt des richtigen

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2n+2} + \frac{2}{(2n+2)(2n+4)} \end{eqnarray*}$ ,

was du im Text n/(2n+2) + 2/((2n+2)(2n+4)) schreiben musst. Nimm doch besser gleich LaTeX.

18.11.2009, 19:48

Anna 1987

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$\begin{eqnarray*} \frac n {2n+2} + \frac 2 {(2n+2)(2n+4)} \end{eqnarray*}$

18.11.2009, 20:23

Anna 1987

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Habe jetzt aber echt keine Ahnung, wie ich weiter machen muss. Habe hin und hergerechnet, aber ich komme einfach nicht drauf. Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich weter machen muss?

18.11.2009, 20:42

Anna 1987

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Mein nächster Schritt war alles auf einen Bruch zu bringen. Dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} \frac n(2n+4)+2 {(2n+2)(2n+4)} \end{eqnarray*}$

Aber wegen dem + im Zähler darf ich ja jetzt zwischen Zähler und Nenner nicht mehr kürzen. Wenn ich nun aber alles ausmultipliziere, dann komme ich auch nicht weiter.

18.11.2009, 20:46

Anna 1987

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Sorry, ich meinte natürlich:

Mein nächster Schritt war alles auf einen Bruch zu bringen. Dann habe ich:

(2n+4)+2 geteilt durch {(2n+2)(2n+4)}

Wegen dem + im Zähler darf ich ja jetzt zwischen Zähler und Nenner nicht mehr kürzen. Wenn ich nun aber alles ausmultipliziere, dann komme ich auch nicht weiter.

18.11.2009, 20:52

AD

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Na du meine Güte, wieder dasselbe Spiel, was ist denn daran so schwer?

Diesmal mit dem Hauptnenner $\begin{eqnarray*} (2n+2)(2n+4) \end{eqnarray*}$ , bzw. wenn du im rechten Term nochmal kürzt, reicht auch der Hauptnenner $\begin{eqnarray*} (2n+2)(n+2) \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Sorry, hatte deine letzten zwei Beiträge nicht gelesen, die waren schon auf der nächsten Seite.

18.11.2009, 21:08

Anna 1987

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Ja, das hatte ich auch schon. Dann habe ich

$\begin{eqnarray*} \frac n {2n+2} + \frac 1 {(2n+2)(n+2)} \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich nun die Brüche zusammenziehe erhalte ich im Zähler n(n+2)+1 und im Nenner (2n+2)(n+2) und da darf ich ja wegen dem + wieder nicht kürzen....

18.11.2009, 21:14

AD

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Wenn ich oben gesagt habe "Nenner nicht ausmultiplizieren", dann galt das nur für den Nenner. Beim Zähler sollte man es (behutsam) schon tun:

$\begin{eqnarray*} n(n+2)+1 = n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$

Erinnert dich das an irgendwas? Du musst auch mal ein Auge aufs Ergebnis werfen, was also noch weggekürzt werden muss...

18.11.2009, 21:42

Anna 1987

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Vielen Dank. Jetzt sehe ich es auch und konnte die Aufgabe komplett lösen.
Wünsche dir noch einen schönen Abend und nochmals vielen Dank. Tanzen

Tanzen

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