Grenzwert bestimmen

17.11.2009, 23:39

moxox

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Grenzwert bestimmen

Hallo,

Bräuchte wieder mal eure Hilfe.
Ich schreibe am Donnerstag ne Mathematikarbeit und versuche mir seit gestern alles in den Kopf zu ballern.
Bisschen spät, ja ich weiß traurig

traurig

Aufgabe:
Bestimmen Sie den Grenzwert an der Definitionslücke für: $\begin{eqnarray*} \frac{x^2+x-2}{\sqrt{x}-1 } \end{eqnarray*}$

Lösung (so weit wie ich komme)

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{x^2+x-2}{\sqrt{x}-1 } = \frac{ (x+2)(x-1) }{\sqrt{x}-1 } = \frac{(x+2)(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{ \sqrt{x}-1 } = (x+2)(\sqrt{x}+1)<br /> \end{eqnarray*}$

Ok. soweit so gut.

Die Definitionsmenge der Funktion(x) ist D = R \ {-1; +1}
und die der Ersatzfunktion D = R
das heißt eine Polstelle existiert nicht, oder?
und deshalb kann ich auch keinen Grenzwert bestimmen, oder?

MFG

17.11.2009, 23:51

Black

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Du sollst den Grenzwert an der Definitionslücke bestimmen, von Polstellen ist doch nirgends die Rede?

Die Definitionslücke liegt wie du schon bemerkt hast bei x=1, und dort kannst du doch den Grenzwert bestimmen. (Bedenke außerdem, dass $\begin{eqnarray*} D=\mathbb R^+ \backslash \{1\} \end{eqnarray*}$

17.11.2009, 23:56

moxox

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aso ok

warum ist die Def.lücke 1 und nicht -1 und +1 ?

also ich muss jetzt die Definitionslücke in x einsetzen, sodass

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> (x+2)(\sqrt{x}+1 ) = (1+2)(\sqrt{1}+1 ) = 3 * 2 = 6<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert an der Definitionslücke 1 ist also 6.

18.11.2009, 00:00

Black

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Zitat:

Original von moxox

warum ist die Def.lücke 1 und nicht -1 und +1 ?

Weil du aus allen negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kannst, die Funktion ist also für x<0 nicht definiert.

Zitat:

Der Grenzwert an der Definitionslücke 1 ist also 6.

richtig

18.11.2009, 00:17

moxox

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ok danke danke !

hab noch eine Frage zu einer ähnlichen Aufgabe.
Denke nicht, dass ich jetzt dafür ein neuen Thread aufmachen muss.

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Definitionslücken von f und stellen Sie fest, ob an den Definitionslücken der Grenzwert vorhanden ist. Geben Sie diesen gegebenenfalls an!

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)= \frac{x^2-4x+3}{x^2-9} <br /> \end{eqnarray*}$

meine Vorgehensweise:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)= \frac{x^2-4x+3}{x^2-9} = \frac{(x-3)(x-1)}{(x+3)(x-3)} = \frac{(x-1)}{(x+3)}<br /> \end{eqnarray*}$

D = R \ {-3; +3}
die der Ersatzfunktion D = R \ {-3}

also:

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to -3} \frac{(x-1)}{(x+3)} = \frac{(-3-1)}{(-3+3)} = \frac{(-4)}{(0)} <br /> \end{eqnarray*}$

d.h. es existiert kein Grenzwert von x gegen -3
Richtig?

aber wenn ich jetzt von f(x) das x mit dem höchsten Exponenten ausklammere, was bekomme ich dann für ein Ergebnis?
Dachte so kann man auch den Grenzwert berechnen.
also:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-4x+3}{x^2-9}= \frac{x^2( 1 -\frac{4}{x} + \frac{3}{x^2} )}{x^2(1 - \frac{9}{x^2} )} = \frac{1*1}{1 * 1} = 1 \end{eqnarray*}$

Was ist 1?

18.11.2009, 00:26

Black

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Zitat:

Original von moxox

also:

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to -3} \frac{(x-1)}{(x+3)} = \frac{(-3-1)}{(-3+3)} = \frac{(-4)}{(0)} <br /> \end{eqnarray*}$

d.h. es existiert kein Grenzwert von x gegen -3
Richtig?

Ja, für x gegen -3 gibt es kein Grenzwert, weil dort eine Polstelle ist, du kannst aber ohne Probleme x=3 in deine Ersatzfunktion einsetzen, und den Grenzwert dafür berechnen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-4x+3}{x^2-9}= \frac{x^2( 1 -\frac{4}{x} + \frac{3}{x^2} )}{x^2(1 - \frac{9}{x^2} )} = \frac{1*1}{1 * 1} = 1 \end{eqnarray*}$

Was ist 1?

1 ist der Grenzwert für x gegen unendlich

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18.11.2009, 00:32

moxox

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Zitat:

Original von Black

Zitat:

Original von moxox

also:

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to -3} \frac{(x-1)}{(x+3)} = \frac{(-3-1)}{(-3+3)} = \frac{(-4)}{(0)} <br /> \end{eqnarray*}$

d.h. es existiert kein Grenzwert von x gegen -3
Richtig?

Ja, für x gegen -3 gibt es kein Grenzwert, weil dort eine Polstelle ist, du kannst aber ohne Probleme x=3 in deine Ersatzfunktion einsetzen, und den Grenzwert dafür berechnen.

In der Aufgabenstellung steht ja, dass man die Definitionslücke von f auf einen Grenzwert überprüfen soll.
Ich darf ja jetzt nicht die Definitionslücke von f(x) in die Ersatzfunktion einsetzen, oder?
Also die Lösung dieser Aufgabe ist
Definitionslücke = -3
und der Grenzwert existiert nicht.

Richtig?

nochmals danke ^^

Edit:
ach doch. Hammer

Hammer

also
Der Grenzwert für x gegen -3 existiert nicht.
und
Der Grenzwert für x gegen +3 ist gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

18.11.2009, 00:37

Black

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Die Funktion hat 2 Definitionslücken, eine davon ist behebbar (x=3), die andere nicht (x=-3 ist Polstelle).

Nun musst du einfach
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to 3} \frac{(x-1)}{(x+3)} \end{eqnarray*}$
berechnen

18.11.2009, 00:39

moxox

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also die Antwort der Aufgabe lautet

Der Grenzwert für x gegen -3 existiert nicht.
und
Der Grenzwert für x gegen +3 ist gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

18.11.2009, 00:41

Black

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so ist es

18.11.2009, 00:45

moxox

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gut

Big Laugh

thx

hast du auch Ahnung von Behauptungen?

Gegeben sei f: D -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R; x \Rightarrow \frac{3x^2 - 5x - 2}{x-2}; D = \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ {2}

Behauptung: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} f(x) = 7 \end{eqnarray*}$

Überprüfen Sie die Behauptung !

Meine Vorgehensweise:

Polynomdivision:

$\begin{eqnarray*} (3x^2-5x-2) : (x-2) = 3x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f(x)-g| < epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |3x+1-7| < epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |3x-6|< epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3|x-2| <epsilon \end{eqnarray*}$

weiter komme ich nicht.

Ich weiß, dass man etwas mit einem delta machen muss verwirrt

verwirrt

18.11.2009, 00:58

Black

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Du musst eigentlich nur wie eben $\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to 2} {(3x+1)} \end{eqnarray*}$ berechnen und schauen ob 7 rauskommt.

Den Epsilon Beweis den du anführst benutzt man bspw. um den Grenzwert einer Folge zu berechnen.

18.11.2009, 01:08

moxox

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Zitat:

Original von Black
Du musst eigentlich nur wie eben $\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to 2} {(3x+1)} \end{eqnarray*}$ berechnen und schauen ob 7 rauskommt.

Den Epsilon Beweis den du anführst benutzt man bspw. um den Grenzwert einer Folge zu berechnen.

ok, ja also die Behauptung stimmt ^^

Nur ich denke mein Lehrer will diesen Weg über Delta.
Weißt du wie das geht?

Bsp an einer anderen Aufgabe (vom Lehrer mehr oder weniger besprochen)

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to 3} \frac{2x^2-7x+3}{x-3} = 5 <br /> \end{eqnarray*}$

Polynomdivision ergibt:

$\begin{eqnarray*} 2x-1=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> |f(x)-g|<epsilon<br /> |f(x)-5|<epsilon<br /> |2x-1-5|<epsilon<br /> |2x-6|<epsilon<br /> 2|x-3|<epsilon :<br /> \end{eqnarray*}$

sei $\begin{eqnarray*} epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig vorgegeben:
Wähle Delta = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} epsilon \end{eqnarray*}$

Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \in D_f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 < |x-3| < Delta \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |f(x) -g| = 2 |x-3| < 2 Delta = 2 * \frac{1}{2} * epsilon = epsilon<br /> <br /> \Rightarrow 2 |x-3| < epsilon \end{eqnarray*}$

18.11.2009, 01:23

moxox

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Ich versteh überhaupt nicht für was Delta da sein soll und warum gerade $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für Delta.
und ist Delta * i-etwas = epsilon?

18.11.2009, 01:28

Black

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Delta ist gerade 1/2 epsilon , wegen
$\begin{eqnarray*} <br /> 2|x-3|<epsilon :<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> 2|x-3|<2 delta :<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> |x-3|< delta :<br /> \end{eqnarray*}$

folgt $\begin{eqnarray*} 0 < |x-3| < Delta \end{eqnarray*}$ usw.

In deinem Bsp oben müsste delta also 1/3 epsilon sein.

18.11.2009, 01:35

moxox

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Danke !
glaub ich hab das soweit verstanden Wink

Wink

18.11.2009, 08:14

moxox

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Habe noch eine Frage bzgl. dieser Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4} \frac{x-2 \sqrt{x} }{\sqrt{x} -2} \end{eqnarray*}$

was sollte ich hier zuerst machen? unglücklich

unglücklich

Ich habe versucht $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} +2 \end{eqnarray*}$ in Zähler und Nenner zu multiplizieren, aber das bringt mich nicht weiter...

18.11.2009, 09:14

klarsoweit

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Wie wäre es mit Ausklammern von Wurze(x) im Zähler?

18.11.2009, 09:25

moxox

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ach omg. danke, jetzt seh ichs
also es kommt 2 raus.

Hatte es auch gerade eben raus bekommen, aber durch einen anderen Weg.

$\begin{eqnarray*} \frac{x-2 \sqrt{x} }{\sqrt{x} -2} = \frac{x (\sqrt{x}+2) -2\sqrt{x}(\sqrt{x}+2) }{(\sqrt{x} -2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{\sqrt{x^3}-4\sqrt{x} }{x-4} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x^2} -4)}{x-4} = \sqrt{x} = 2 \end{eqnarray*}$

unnötig kompliziert ^^

18.11.2009, 16:55

Eierkopf

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Wer verlangt denn heute noch Epsilontik? Das kann man doch bei den geltenden Richtlinie gar nicht mehr sinnvoll durchziehen.
Aber wenn schon, dann bloß nicht die Quantoren vergessen:
zu jedem epsilon aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ gibt es ein delta(epsilon) aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ , sodass für alle x aus der delta-Umgebung von 2 gilt:
|f(x)-g|<epsilon

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