Aufgaben der Mathematikolympiade 2006/07, 1.Runde, Klasse 9/10

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Jazcek Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgaben der Mathematikolympiade 2006/07, 1.Runde, Klasse 9/10
Brauche Hilfe!
Habe mir echt sehr viel mühe gegeben, aber diese Aufgaben sind einfach zu schwer. Vielleicht kann mir ein Mathegenie helfen.
Hier die Aufgaben:

1.
a) Zeigen sie, dass 1*15+1, 11*105+1 und 111*1005+1 Quadratzahlen sind.
b) Es sei n eine natürliche Zahl mit n > 0. Des weiteren seien a=11...1 die Zahl, deren Ziffernfolge aus n Einsen besteht, und b=10...05 die Zahl, deren Ziffernfolge aus einer Eins, n-1 Nullen und einer Fünf besteht.
BEWEISEN SIE, dass unter diesen Voraussetzungen a*b+1 eine Quadratzahl ist.

2.
Bernd ist krank und muss Tabletten nehmen. Diese sind in einer mit Alufolie verschlossenen Palette enthalten, welche die Form eines Rechteckes aus 5*2 Quadraten hat. In jedem Quadrat befindet sich eine Tablette. Als er von den 10 Tabletten die vierte entnommen hat, überlegt er sich, ob es denn sehr viele Muster aus 6 vorhandenen und 4 fehlenden Tabletten gibt. Dabei sollen zwei Muster gleich sein, wenn sie durch Drehen der Palette um 180 Crad inerinander übergehen.
Wie viele Muster gibt es?

3.
Im gleichschenkligen Trapez ABCD mit AB k DC, AD , BC und |AD| = |BC| sei O der
Diagonalenschnittpunkt. Ferner seien |<) BAC| = 60 sowie X, Y , Z die Mittelpunkte der
Strecken OA, OD bzw. BC.
Zeigen Sie, dass dann das Dreieck XYZ gleichseitig ist.


4.
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
Bemerkung: x6 bedeutet z.B x hoch 6!

x6 + 2 x5 &#8722; x4 &#8722; 4 x3 &#8722; x2 + 2 x + 1 = 0.

5.
Es sei ABCD ein konvexes Viereck. Der Punkt P sei im Inneren der Strecke AB derart
gewählt, dass
|AP| : |PB| = |AD| : |DC|
für die zugehörigen Streckenlängen gilt. Weiterhin soll gelten, dass die Geraden PD und BC
parallel sind.
Beweisen Sie: |<) ADP| = |<) PDC|.
Hinweis: Ein Viereck ABCD heißt konvex, falls die Diagonalen AC und BD im Inneren des
Vierecks ABCD liegen.

6.
Zeigen Sie, dass es nur endlich viele Primzahlen p gibt, für welche die Dezimaldarstellung von
1/p periodisch mit einer Periodenlänge 5 ist.
Hinweis: Bei periodischen Dezimalbrüchen wiederholt sich ständig ein Block von Ziffern.
Zum Beispiel werden bei 4,3075151515151 . . . 51 . . . Blöcke der Ziffern 51 ständig aneinander
gereiht. Man schreibt 4,30751 mit der Periodenlänge 2, weil sich ein Block von zwei Ziffern
ständig wiederholt.

Vielen Dank!(im vorraus)

HELP!
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind die aktuellen Aufgaben der 46. Mathe-Olympiade, wenn ich mich nicht täusche. Daher: Geschlossen.
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich markier's mal als wichtig - zur Information an alle Moderatoren bei ähnlichen "Versuchen".
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich öffne mal wieder, denn laut offizieller DMO-Homepage ist der Einsendeschluss nun verstrichen.
Sofie Auf diesen Beitrag antworten »
Mtheolympiade
HI du,
warum brauchst du die lösungen?
wenn du da mitmachen willst musst du das sowieso alleine lösen können, denn spätestens in der dritten runde bist du ganz auf dich alleine gestellt, glaub mir. Ich mache da seid 5 jahren mit und hab auch nicht immer so gut abgeschnitten und ich kann mathe eigentlich sehr gut, also was willst du denn dann machen, wenn du die aufgaben nicht selber lösen kannst?
gruß sofie
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