Nachweis von Topologie

18.11.2009, 13:37	annameyer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis von Topologie Ich soll nachweisen dass T eine Topologie auf X(= die Menge der ganzen Zahlen) ist T:= { A in X \| zu jedem a in A exist. ein b in X\{0}, sodass a+bX in A} Nun muss ich ja 3 Bedingungen nachweisen 1)dass die Vereinigung bel. vieler Teilmengen von T wieder in T 2)dass der Schnitt endlich vieler Teilmengen von T wieder in T 3) dass die leere Menge und X in T sind die ersten beiden sind von der Vorstellung her voellig klar...aber wie zeigt man das? bei der dritten verstehe ich nicht wie X in T sein soll, wenn T in X ist..dann muessten sie gleich sein, aber T ist doch nur ein System von Teilmengen in X oder? Ich wuerde mich freuen, wenn jemand mit mir zusammen die loesung erarbeiten koennte!
18.11.2009, 16:13	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nachweis von Topologie Zu 1) musst du ja nur zeigen. Seien $\begin{eqnarray} (A_i)_{i \in I} \end{eqnarray}$ offene Mengen und I eine beliebige Indexmenge. Sei $\begin{eqnarray} a \in \bigcup_{i \in I} A_i \end{eqnarray}$ dann exisitert ein $\begin{eqnarray} b \in X/\{0\} \end{eqnarray}$ s.d. $\begin{eqnarray} a+bX \subset \bigcup_{i \in I} \end{eqnarray}$ . Hier verwendest du einfach die Tatsache, dass jedes $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ in T enthalten ist und jedes a aus der Vereinigung in mindestens einem $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ enthalten sein muss. 2) Zeig es einfach für A1, A2 aus T, dass der Schnitt von A1 und A2 wieder in T liegt. Dabei verwende, dass ein a aus dem Schnitt sowohl in A1 als auch in A2 liegt. Was bedeutet dies für a + bX? 3) bX liegt in X und damit auch a+bX, da X der Menge der ganzen Zahlen entspricht.
18.11.2009, 21:49	annameyer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nachweis von Topologie vielen dank !

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