Vollständ. Induktion |
| 18.11.2009, 17:19 | Arizona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Vollständ. Induktion |
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| 18.11.2009, 17:32 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Irgendwie bin ich mir sicher, dass ausmultiplizieren zum Ziel führt, auch wenns eventl. nervig ist. Verwende doch einfach den binomischen Lehrsatz, dann musst du nicht alles von Hand machen. |
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| 18.11.2009, 17:35 | JdPL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bist du dir sicher, dass die Gleichung richtig ist? 2^5 + 4 = 32 + 4 = 36 Das ist nicht durch 5 teilbar. Sonst hättest du beim Ausmultiplizieren aber zumindest viele fünfen und zehnen... |
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| 18.11.2009, 17:41 | Arizona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sry. es muss natrülich heißen n^5 + 4n ... |
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| 18.11.2009, 17:47 | JdPL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann kannst du das einfach mit ausmultiplizieren beweisen. (Mit dem Paskaldreieck dauert das keine 5 Minuten) |
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| 18.11.2009, 18:03 | Arizona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, okay, ausmultipliziert wäre das Ganze nun, aber das ist ein ellenlanger Term an dem man nicht wirklich erkennen kann, dass 5 ein Teiler ist ... *hmpf* |
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| 18.11.2009, 18:11 | JdPL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde das Ausmultiplizieren mit dem Pascaldreieck machen: http://de.wikipedia.org/wiki/Pascaldreieck#Anwendung Aber auch so müsstest du beim Zusammenfassen Terme wie 5n^4 bekommen. |
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| 18.11.2009, 18:15 | Arizona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese Terme bekomme ich, über das Pascal-Dreieck auch mit 10, was ja auch durch 5 telbar ist. Nur steht am Ende ja noch der Teil ... 4n+4 bzw. 4(n+1) da, wie krieg ich das denn so umgeformt, dass man erkennen kann, dass 5 hier (insgesamt) teilt? |
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| 18.11.2009, 18:16 | JdPL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da du den Induktionsanfang haben solltest, gilt n^5 + 4n ist teilbar durch 5. |
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| 18.11.2009, 21:31 | Arizona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das schon, aber muss bei der Vollst. Ind. nicht am Ende etwas bei rauskommen, sodass man die Annahme, jedoch inkl. n+1 wiedererkennen kann? Wenn ich einfach nur die Voraussetzung als Begründung nutze, wäre das doch kein Beweis, oder? |
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| 18.11.2009, 21:55 | JdPL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst ja feststellen, dass die Aussage für n gleich 1 wahr ist (Induktionsvoraussetzung). Der Induktionsschritt besteht darin, dass man davon ausgeht, dass man die Aussage bis n bewiesen hat, und man auch beim Einsetzen von n+1 wieder auf die wahre Aussage kommt (und dabei die Wahrheit der Aussage bei n benutzt). Es geht also nicht darum, dass etwas mit n+1 herauskommt, sondern darum, dass man mit n+1 eine sicher wahre Aussage konstruieren kann. |
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| 18.11.2009, 22:26 | Arizona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, das verstehe ich, jedoch komme ich beim Auflösen der Gleichung einfach nicht mehr weiter. Habe einen ziemlich langen Term (vom Ausmultiplizieren) und weiß nicht wirklich, wie ich ihn zusammenfassen kann bzw. auf eine kurze Form zurückbringe, in der ich sehen kann, das die IV) für n+1 auch gilt ... Ich verzweifel noch an der Vollst. Induktion ... :/ |
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| 19.11.2009, 05:40 | JdPL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast ja mit 0^5 + 4 * 0 = 0 beziehungsweise 1^5 + 4 * 5 = 5 einen Induktionsanfang. Angenommen du hast bis n die Wahrheit der Aussage bewiesen, so muss nun bewiesen werden, dass wenn die Aussage n^5 + 4*n durch 5 teilbar ist, dies auch für (n+1)^5 + 4*(n+1) der Fall ist. Eigentlich müsstest du nach dem Ausmultiplizieren von (n+1)^5 sechs Terme haben, von denen 4 durch 5 Teilbar sind. Für welche Menge n sollst du das eigentlich beweisen? Schreib doch mal bitte deinen langen Term auf. |
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| 19.11.2009, 06:15 | SilverSpirit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ansonsten kann ich zustimmen |
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| 19.11.2009, 10:32 | Arizona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich soll es für alle n der natürlichen Zahlen zeigen ... Mein Term "so far" ist: n^5+5n^4*1^1+10n^3*1^2+10n^2*1^2+5n^1*1^4+1^5 + 4(n+1) Daran stört mich der letzten Summand, also die 4(n+1), ansonsten wäre ersichtlicher, dass 5 ein Teiler ist ... |
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| 19.11.2009, 13:00 | JdPL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Damit bist du schon fast am Ziel. Wenn man jetzt alles wegelässt, was offensichtlich durch 5 teilbar ist, dann bleibt noch n^5 + 1(^5) + 4*(n+1) du weißt, dass n^5 + 4n durch 5 teilbar ist, und kannst noch eine Klammer auflösen. |
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| 19.11.2009, 13:49 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da wäre es doch eiinfacher gleich so argumentieren dass Ja ok, es kommt keine Induktion darin vor, aber in deinem Beweis "so far" ja auch nicht... |
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| 19.11.2009, 17:15 | JdPL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso? Muss man nicht nurnoch das Auflösen des Induktionsschrittes beenden? |
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| 19.11.2009, 18:31 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
War jetzt auf die Ausführungen von Arizona bezogen, wo es zumindestens in den von mir zitierten Posting keine Andeutung dazu gab, wie der Beweis induktiv weitergehen könnte... |
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