Cauchyscher Integralsatz

18.11.2009, 17:45

vektorraum

Cauchyscher Integralsatz

Hi!

Bin am Üben für die Funktionentheorie-Prüfung, muss mein Grundwissen erstmal wieder auffrischen. Gerade bin ich dabei das folgende Integral auszuwerten:

$\begin{eqnarray*} \int_{|z|=2}\frac{\dd z}{1+z^2} \end{eqnarray*}$

Ich soll also über einen Kreis mit Mittelpunkt Null und Radius 2 integrieren. Erste Idee: Partialbruchzerlegung. Dann ist

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{\dd z}{1+z^2}=\int_{\gamma}\left(\frac{\frac{i}{2}}{z+i}-\frac{\frac{i}{2}}{z-i}\right)\dd z \end{eqnarray*}$

Nun die Cauchysche Integralformel anwenden, dann würde aber $\begin{eqnarray*} 4\pi i \end{eqnarray*}$ rauskommen, was aber nicht stimmt.

Wie war das aber nun nochmal: i und -i liegen ja im Inneren des Integrationsweges, liegt darin der Schlüssel???

Danke für eure Antworten Freude

18.11.2009, 19:41

system-agent

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Residuensatz hilft immer... Augenzwinkern

19.11.2009, 09:47

vektorraum

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Danke, aber angenommen, man hätte den noch nicht... Der Prof. hat das Beispiel auch schon vor dem Cauchy-Integralsatz gemacht, dann halt gesagt, dass es Null ist. Wie wäre da die Argumentation???

19.11.2009, 16:16

Leopold

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Zunächst einmal - die Partialbruchzerlegung sollte schon stimmen ...

19.11.2009, 16:25

vektorraum

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Oh, aber natürlich. Ich kann mich nicht entsinnen, solch ein Blödsinn da oben geschrieben zu haben verwirrt

Danke erstmal für den Hinweis Freude

21.11.2009, 22:04

000000

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Wie kommt man denn auf das Ergebnis der PBZ?

21.11.2009, 22:14

vektorraum

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Zitat:

Original von 000000
Wie kommt man denn auf das Ergebnis der PBZ?

Der Nenner hat offensichtlich die Linearfaktorzerlegung

$\begin{eqnarray*} (1+z^2)=(z-i)\cdot (z+i) \end{eqnarray*}$

Dann machst du den Ansatz

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(z-i)(z+i)}=\frac{A}{z-i}+\frac{B}{z+i} \end{eqnarray*}$

und bestimmst mit irgendeinem Verfahren deine Koeffizienten A und B.

Ich weiß aber nicht, ob das für deine Aufgabe nützlich ist, mir ist nur der Bruch bekannt vorgekommen Augenzwinkern

21.11.2009, 22:22

000000

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$\begin{eqnarray*} 1 = t(A+B) +i(A-B)<br /> A + B = 0<br /> \Rightarrow i2A = 1<br /> A = \frac{1}{2i} \neq \frac{i}{2} \end{eqnarray*}$
?

21.11.2009, 22:33

vektorraum

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Es ist doch

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2i}=\frac{1\cdot i}{2i\cdot i}=-\frac{i}{2} \end{eqnarray*}$ .

Beachte die entsprechenden Vorzeichen oben.

22.11.2009, 16:39

000000

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Ja, natürlich.

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