Normalteiler

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mademadiker Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler
sei G eine gruppe, N normalteiler von G und U sowie eine familie von untergruppen von G. zeige:
a) ist eine untergruppe von G
b) sind sämtliche normalteiler von G, so auch D

teil a) habe ich bereits gezeigt
zu b) reicht es zu zeigen, dass der schnitt aller kommutativ ist und somit auch normalteiler von G?

ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Warum sollte der Schnitt kommutativ sein? In der Regel ist er das nicht. Und selbst wenn er es wäre, müsste er dann nicht notwendigerweise ein Normalteiler sein!

Rechne einfach die definierende Eigenschaft für Normalteiler nach.
mademadiker Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß ja laut aufgabenstellung, dass alle untergruppen auch normalteiler von G sind.
wir haben in der uni ´ne definition aufgeschrieben: ist G abelsch, so ist jede Untergruppe von G ein normlateiler von G. gilt eigentlich auch der umkehrschluß, speziell in dieser aufgabe?

ich habe ja bereits in a) gezeigt, dass D untergruppe von G ist. also fehlt noch zu zeigen, dass gilt:
gD=Dg und

ist das soweit richtig?

probier ichs mal: ( solll die verknüpfung "kringel" sein)
sei und
dann ist
, wegen gD=Dg gilt auch
=> es gibt mit
<=>
=>

jetzt der beweis in die andere richtung:
sei
z.z. gD=Dg:
sei , dann gibt es mit
=>

=>
aber
womit aber und folgt
( die andere richtung folgt analog)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jetzt allgemein gezeigt, dass für alle und für alle immer äquivalent sind. Das hat aber nichts mit der Aufgabe zu tun! Du musst doch für das spezielle zeigen, dass eine dieser beiden Eigenschaften erfüllt ist!

Zitat:
Original von mademadiker
wir haben in der uni ´ne definition aufgeschrieben: ist G abelsch, so ist jede Untergruppe von G ein normlateiler von G. gilt eigentlich auch der umkehrschluß, speziell in dieser aufgabe?

In dieser Formulierung kann das keine Definition gewesen sein, sondern es ist ein Satz. Im Übrigen ist die Umkehrung falsch.
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