irrationale Zahl

18.11.2009, 18:40	Sabrina38	Auf diesen Beitrag antworten »
irrationale Zahl Hallo, Ich bin bei der Lösung folgender Aufgabe am verzweifeln: Zeigen Sie: Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt stets eine irrationale Zahl. (Hinweis: Mit $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ ist auch $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{2}}{n} \end{eqnarray}$ irrational) Hab mir bis jetzt folgendes überlegt: $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb Q \text{ mit } a<b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c:= a+\frac{b-a}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray}$ gilt folgendes: $\begin{eqnarray} a<c<b \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \sqrt{2}<2 \end{eqnarray}$ noch zu zeigen: c ist irrational Beweis durch Widerspruch: Annahme c wäre rational Jetzt müsste ich zeigen das $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ rational ist und das wäre dann der Widerspruch. Hab das versucht zu zeigen geht aber immer schief, kann mir bitte jemand helfen
18.11.2009, 18:50	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \sqrt{2} = \frac{2}{b-a}(c-a) \in \mathbb Q \end{eqnarray}$
18.11.2009, 19:11	Sabrina38	Auf diesen Beitrag antworten »
OH Mist das hatte ich auch schon mal dastehen, wenn ich das richtig sehe, ist das ja schon der Widerspruch, da die Annahme ja war c ist rational und somit ist die Rechte Seite der Gleichung ja $\begin{eqnarray} \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ Ich hab meine Annahme selbst total übersehen und ewig rumgerechnet
19.11.2009, 08:56	Manubbi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, versuche gerade diesen Beweis nachzuvollziehen, versteh aber folgendes nicht $\begin{eqnarray} c:= a+\frac{b-a}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray}$ Warum gilt folgendes: $\begin{eqnarray} a<c<b \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \sqrt{2}<2 \end{eqnarray}$ ???? könnte mir das bitte mal jemand erklären ?? Danke
19.11.2009, 09:47	Manubbi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok auf einen Teil bin ich selbst gekommen $\begin{eqnarray} c>a \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} b-a>0 \text{ und }\frac{\sqrt{2}}{2}>0 \text{ somit }\frac{b-a}{2}\sqrt{2}>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c:= a+\frac{b-a}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray}$ Warum aber $\begin{eqnarray} c<b \end{eqnarray}$ ?????

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