Menge Abbildungen R->R

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18.11.2009, 18:53	BobbyJack	Auf diesen Beitrag antworten »
Menge Abbildungen R->R Hallo erstmal! In der Matheübung heute gab es eine Aufgarbe mit der Einleitung: Es bezeichne $\begin{eqnarray} \mathbb{R} ^ {\mathbb{R}}\ \end{eqnarray}$ die Menge aller Abbildungen $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdots \end{eqnarray}$ Könnte mir den Satz mal jemand erklären und / oder ggf. mal ein paar Beispiele nennen? Danke schonmal!
18.11.2009, 19:32	BobbyJack	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge Abbildungen R->R ouh - sry wegen der Aufgarbe hust
18.11.2009, 19:50	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm wenn du grad schon da bist xD sagt dir bijektiv, injektiv und surjektiv? nur dann könnte ich einen Versuch starten es dir zu erklären xD aber in der ersten Stunde...weiss nicht ob man da des schon anspricht
18.11.2009, 19:56	BobbyJack	Auf diesen Beitrag antworten »
die drei begriffe sagen mir so jetzt nichts - vielleicht haben wir die nur nicht ausdrücklich so bezeichnet?
18.11.2009, 20:27	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm dann wird es für mich schwierig :P ich versuche es mal so: Also du hast zwei Mengen A und B, dann versteht man unter einer Abbildung, ,eine Funktion f von A nach B (f: A->B) eine Vorschrift, die jedem x€A genau ein y€B zuordnet. (f: x\|->y) Nun deine beiden Mengen sind R und R, demnach muss x und y jeweils aus diesem Bereich kommen. Du erhälst eine Abbildung wenn du alle x aus A auf ein y aus B "proijezieren" kannst. Also wenn du ein x€R auf ein y€C (komplexe Zahlen) abbildest, ist es keine Abbildung mehr. Bsp: R->R (von Gruppe A in Gruppe B ist verlangt) x->ix (mit i aus den komplexen Zahlen) ---> ist keine Abbildung!!! aber wenn du hast R->R x->x² dann hast du eine Abbildung ( denn beide liegen in R) hier kannst du aber noch weiter differenzieren, oob die Abbildung injektiv, surjektiv oder aber sogar bijektiv ist (bijektiv = surjektiv + injektiv) aber des soll dir besser dein Lehrer erklären! Das kann man auf mehrerlei Weise dem Schüler näher bringen xD
18.11.2009, 20:49	BobbyJack	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erstmal für deine Erklärung Mal sehen, ob ich dich richtig Verstanden habe: Ich habe also eine Funktion, die jedem x einen Wert y zuordnet (wäre das dann z.B. eine ganz normale Funktion wie: x^2 + 2x + 5 ? hier ordne ich ja auch jedem beliebigen x einen eindeutigen Wert y - oder wie früher f(x) - zu und x,y können auch € R sein) das $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ sagt also jetzt aus, was x für bedingen erfüllen muss und was y für bedingungen erfüllen muss, je nachdem, wie meine Menge definiert ist. Hier also: x,y € R Jetzt geh ich hin und zähle, wieviele verschiedene x ich wählen kann, damit beide Bedingungen (die für x und die für y) erfüllt sind, und nenne diese anzahl jetzt $\begin{eqnarray} \mathbb{R} ^ {\mathbb{R}}\ \end{eqnarray}$ . Mit dem mathmatischen hoch hat das jetzt also nichts mehr zu tun, sondern ist einfach nur der name für die anzahl. ich könnte das also auch peter oder susi nennen - aber die konvention lautet nunmal so? Wieder viele Fragen ^^
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18.11.2009, 21:02	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Puuh ich versuch mich mal dran...auch wenn Abbildungen nicht zu meinen Spezialgebieten gehören wollt dich aber net so allein lassen Also...Ja du kannst eine beliebige Funktion wählen, sie muss aber in der Gruppe A definiert sein...sonst ist des ganze schon im vorneherein zum Scheitern verurteilt das $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ sagt also jetzt aus, was x für bedingen erfüllen muss und was y für bedingungen erfüllen muss, je nachdem, wie meine Menge definiert ist. Hier also: x,y € R würde ich mal bejahen xD aber bei deinem R^R muss ich leider verneinen (ich hoff ich lieg mit meiner negierung deiner aussage richtig haha) aber es ist nicht die Anzahl der Möglichkeiten... R^R bezeichnet die Dimension...also R² ist die zweite Dimension, wie R³ die dritte bezeichnet...Es soll wahrscheinlich damit ausgesagt werden, dass es für alle Dimensionen gültig ist?!
18.11.2009, 22:39	BobbyJack	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dass du mich nicht damit alleine lassen wolltest Ich hab mich jetzt an die Potenzmenge erinnert gefühlt, die ja auch als $\begin{eqnarray} 2^X,\ \end{eqnarray}$ bezeichnet wird - damit ist ja auch nicht das mathematische Potenzieren gemeint... Das zusammen mit dem Satz: Es bezeichne $\begin{eqnarray} \mathbb{R} ^ {\mathbb{R}}\ \end{eqnarray}$ die Menge aller Abbildungen... Da schien mir das in dieser Zeile so definiert zu werden Und für die Potenzmenge gibts ja auch verschiedene Zeichen: $\begin{eqnarray} \mathfrak p(X),\ 2^X,\ \mathrm{Pot}(X),\ \Pi(X),\ \wp(X),\ \mathfrak P(X) \end{eqnarray}$ Und wie kann ich mir denn $\begin{eqnarray} \mathbb{R} ^{3.732} \end{eqnarray}$ vorstellen? (Erklärung gerne auch mit Skizze) Wieder Fragen über Fragen...
18.11.2009, 22:45	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Haha immer gerne doch wie du siehst bin ich au recht neu hier :P aber probieren geht über studieren Also deine Aussage: Jetzt geh ich hin und zähle, wieviele verschiedene x ich wählen kann, damit beide Bedingungen (die für x und die für y) erfüllt sind, und nenne diese anzahl jetzt $\begin{eqnarray} \mathbb{R} ^ {\mathbb{R}}\ \end{eqnarray}$ . Ist würd ich sagen: auf jeden Fall falsch , aber wenn ich des jetzt nommal genau durchles könnte $\begin{eqnarray} \mathbb{R} ^ {\mathbb{R}}\ \end{eqnarray}$ auch einfach eine andere Schreibweise für $\begin{eqnarray} \mathbb{R} -> {\mathbb{R}}\ \end{eqnarray}$ sein, oder? xD aber nur so...wegen deinem $\begin{eqnarray} \mathbb{R} ^{3.732} \end{eqnarray}$ ...ich wär dir schon dankbar wenn du mir $\begin{eqnarray} \mathbb{R} ^{4} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \mathbb{R} ^{5} \end{eqnarray}$ verdeutlichen könntest
18.11.2009, 23:28	BobbyJack	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt wo du's sagst ^^ Könnte auch sowas sein wie: $\begin{eqnarray} \mathbb{R} ^ {\mathbb{R}}\ :=\{f~\|~\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\} \end{eqnarray}$ (Ich hab diese Mengenschreibweise nie so richtig verstanden und weiß nicht, ob dashier jetzt wirklich ein sinnvoller Ausdruck ist - aber was ich sagen will: $\begin{eqnarray} \mathbb{R} ^ {\mathbb{R}}\ \end{eqnarray}$ ist eine Menge mit den Elementen: Funktionen f für die gilt, dass ich einem Wert aus R einen anderen Wert aus R zuordne) puh und zu $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ : Ich kann mir zumindest mal Vektoren im 4Dimensionalen Raum vorstellen - nicht unbedingt geometrisch, aber qualitativ ein Vektor mit 4 Zeilen Aber dann 3.732 Zeilen? Naja - mit der Anschaulichkeit ist das ja immer so eine Sache in Mathe ^^ - vielleicht ist es definiert und man kann damit ganz normal alle Rechenoperationen durchführen?
18.11.2009, 23:37	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh, also sehr viel in diesem Thema ist leider falsch oder total unwichtig für die Frage. Man braucht weder injektiv noch surjektiv, man braucht auch keine komische Gruppe A oder sowas. Man bezeichnet mit $\begin{eqnarray} B^A \end{eqnarray}$ die Funktionen von A nach B(also x-Werte aus A, y-Werte aus B). Warum macht man das? Es gilt nämlich dann $\begin{eqnarray} \|B^A\| = \|B\|^{\|A\|} \end{eqnarray}$ D.h.: Die Anzahl der Abbildung von A nach B ist gerade die \|A\| Potenz der Anzahl der Elemente von B(also \|B\|). Jetzt speziell für $\begin{eqnarray} \mathbb R = A = B \end{eqnarray}$ bezeichnet $\begin{eqnarray} \mathbb R^{\mathbb R} \end{eqnarray}$ die Abbildungen von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Dort sind z.B. die dir bekannten Funktion x^2 oder 4x+2 drin. Aber auch Funktionen die man nicht so leicht darstellen kann. In Mengenschreibweise: $\begin{eqnarray} \mathbb R^{\mathbb R} := \{ f \| f : \mathbb R\to \mathbb R\} \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ bezeichnet man die n-Tupel mit Einträgen aus $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Insbesondere macht $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3.732} \end{eqnarray}$ keinen Sinn

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