VxW bezügl. * abelsche Gruppe

18.11.2009, 18:57	IrMel	Auf diesen Beitrag antworten »
*VxW bezügl. abelsche Gruppe** Moin, Eine Standardaufgabe für Erstsemestler: V,W seien K-Vektorräume, zeigen Sie, dass das direkte Produkt $\begin{eqnarray} V \times W \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} (v,w) +(v',w') = (v+v', w+w') \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda (v,w) = (\lambda v,\lambda w) \end{eqnarray}$ wieder zu einem K-Vektorraum wird. Hier muss man zeigen, dass $\begin{eqnarray} (V\times W, +) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (V\times W, * ) \end{eqnarray}$ eine abelsche/kommutative Gruppe ist und dass das Distributivgesetz gilt. Für die Addition habe ich es soweit. Nur bei der Multiplikation bin ich ratlos, wie ich vorgehen soll. Assoziativität: $\begin{eqnarray} (x * y)z=x(yz) \end{eqnarray}$ wenn ich für $\begin{eqnarray} x=(v,w), y=(v',w'), z=(v'',w'') \end{eqnarray}$ einsetze ergibt das alles keinen sinn. 3 Vektoren miteinander zu multiplizieren, da kommt nichts bei raus. Wie muss ich das denn aufschreiben? Bei der Addition habe ich das so gemacht: [latex]((v,w)+(v',w'))+(v'',w'') = (v+v'+v'')+(w+w'+w'') = (v,w)+((v',w')+(v'',w''))
18.11.2009, 20:11	IrMel	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, ich hatte eine falsche Definition genommen. Aber das (VxW,+) ist zumindest nicht umsonst gezeigt, denn das braucht man
18.11.2009, 22:36	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, schau bitte nochmal die Definition eines Vektorraums genau nach. (VxW, *) ist keine Struktur! Bei der Addition hast du irgendwas falsch verstanden, du hast eine Gleichung der Form: 2-dim Vektor = 1-dim Vektor = 2-dim Vektor da hingeschrieben. Das kann natürlich nicht sein
18.11.2009, 23:36	IrMel	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hat sich ein + dazwischen gemogelt, das sollte ein Komma sein. Ist aber sonst richtig, ja? Für einen Vektorraum muss gelten: 1. $\begin{eqnarray} (V, +) \end{eqnarray}$ ist abelsche Gruppe (habe ich) 2. a) $\begin{eqnarray} (\lambda +m)v = \lambda v+mv \| \lambda ,m \in K,v\in V \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \lambda (v+w)=\lambda v+\lambda w \| \lambda \in K, v,w\in V \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} (\lambda m)v=\lambda (mv) \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} 1v=v \end{eqnarray}$ Also habe ich das so geschrieben: a) $\begin{eqnarray} (\lambda +m)(v,w) = ((\lambda +m)v,(\lambda +m)w) = (\lambda v+mv,\lambda w+mw) = \lambda (v,w) + m(v,w) \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \lambda((v,w)+(v',w')) = \lambda (v+v',w+w') = (\lambda v+\lambda v',\lambda w +\lambda w') = \lambda (v,w)+\lambda (v',w') \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} (\lambda m)(v,w)=(\lambda m v, \lambda m w ) = \lambda (mv,mw) = \lambda (m (v,w)) \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} 1(v,w) = (1v,1w)=(v,w) \end{eqnarray}$ Ist dies formal korrekt aufgeschrieben? Ist das "V" aus der Definition bei mir das "VxW"? denn (v,w) sind ja aus VxW
18.11.2009, 23:41	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast manchmal die * weggelassen. Das ist im Prinzip Konvention, manchmal will man das aber von Anfänger sehen. Insbesondere weil du es manchmal hingeschrieben hast solltest du einheitlich den * hinschreiben. Ja das V aus der Definition ist hier VxW
18.11.2009, 23:53	IrMel	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, werde ich hinschreiben. Danke
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