Vektorraum

18.11.2009, 19:37

Molson

Vektorraum

Nabend,

ich hab ein Problem mit Vektoren und zwar soll ich zeigen, dass alle Linearkombinationen von endlichen Vektoren eines VR einen UR dieses VR bilden.

Ich weiß nicht so recht wie ich da anfangen soll.

Danke und Gruß
Molson

18.11.2009, 19:42

tigerbine

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RE: Vektorraum
Mach dich mit dem Begriff Lineare Hülle vertraut.

18.11.2009, 21:22

Molson

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Ok ich glaub ich hab verstanden was eine Lineare Hülle ist, aber wie zeige ich das jetzt?

18.11.2009, 21:41

tigerbine

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Weise die Unterraumaxiome nach. R-Vektorraum als Teilmenge einen R-Vektorraumes

18.11.2009, 22:41

Molson

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also ich hab mal folgendes:

s = die lineare Hülle mit $\begin{eqnarray*} s \subset V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s = \sum_{i=1}^n~\alpha_i a_i | \alpha \in K | a \in V \end{eqnarray*}$

1. Nullvektor:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1a_1,...,\lambda_na_n=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_i = 0 \end{eqnarray*}$ mit i =1,..., n

reicht das als beweis für das 1. axiom?

18.11.2009, 23:12

tigerbine

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Bei alpha und a muss novh der Index hin. Warum bleibst du dann nicht bei alpha sondern nimmst lambda?

22.11.2009, 15:06

Molson

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Um zu prüfen ob der Raum auch wirklich ein UR ist, muss ich die UR-Axiome nachweisen das ist soweit klar, aber muss ich zuerst die VR-Axiome nachweisen???

Danke und Gruß
Molson

23.11.2009, 18:42

tigerbine

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Nein, das ist hier schon in der Angabe enthalten.

25.11.2009, 19:24

Molson

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und die zwei anderen Unterraumaxiome wären dann:

1. Axiom
$\begin{eqnarray*} a,b \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda,\mu \in K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda a \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu b \in U \end{eqnarray*}$

damit ist auch:
$\begin{eqnarray*} (\lambda a + \mu b) \in U \end{eqnarray*}$

2. Axiom
$\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \in U \end{eqnarray*}$

dann ist auch:
$\begin{eqnarray*} \lambda a \in U \end{eqnarray*}$

sehe ich das richtig??

Vielen Dank.

25.11.2009, 20:32

tigerbine

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UVR nachweisen heißt

* nicht leer
* abgeschlossen bzgl Addition
* abgeschlossen bzgl. Skalarmultiplikation

25.11.2009, 20:44

Molson

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hab ich doch, oder?

25.11.2009, 20:48

tigerbine

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RE: Vektorraum

Zitat:

Original von Molson
Nabend,
ich hab ein Problem mit Vektoren und zwar soll ich zeigen, dass alle Linearkombinationen von endlichen Vektoren eines VR einen UR dieses VR bilden.

* Die Menge der K enthält auch die triviale K mit allen Koeffizienten =0 und somit liegt 0 in U
* Die Summe zweier Vektoren aus u kann man als Summe zweier Summen schreiben und dann wieder als Summe zusammenfassen. Wieder sind wir in U
* Ein Skalares Vielfaches, dort zieht man den Skalar in die Summe und hat wieder ein Element aus U

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