Beweis des schwachen Gesetzes der großen Zahlen

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05.10.2006, 14:18	Kurt C. Hose	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem Ich hab ein Problem, was ganz gut hier reinpasst ... beim Beweis des schw. Gesetz d. gr. Zahlen (Georgii) soll für pw. unkorellierte Zufallsvariablem $\begin{eqnarray} X_{i} \end{eqnarray}$ gelten: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1} E(X_{i} - E(X_{i}))=0 \end{eqnarray}$ warum?? Vielen Dank für evtl Antworten!
05.10.2006, 14:20	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte keine neuen Fragen an andere, alte Threads anhängen Habe mal ein neues Thema für dich eröffnet.
05.10.2006, 14:36	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
"Paarweise unkorelliert" ist etwas merkwürdig, da (Un-)Korrelation schon das "paarweise" beinhaltet - im Gegensatz zu Unabhängigkeit, dort macht die Unterscheidung Sinn. Na egal, jedenfalls ist durch die bloße Existenz der Kovarianz (wenn man von "unkorreliert" spricht, ist das zwangsläufig) schon mal gesichert, dass die beteiligten Zufallsgrößen quadratisch integrierbar sind, d.h. $\begin{eqnarray} E(X_i^2)<\infty \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ . Das allein reicht aber nicht für das schwache GgZ - hast du nicht noch eine Voraussetzung bzgl der Einzelvarianzen, z.B. eine für alle $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ gültige obere Schranke? Ansonsten ist es ein leichtes, ein Gegenbeispiel anzugeben.
05.10.2006, 14:38	Marvin42	Auf diesen Beitrag antworten »
müssen dafür nicht die $\begin{eqnarray} $X_i $ \end{eqnarray}$ einen Erwartungswert besitzen? also $\begin{eqnarray} $E(X_i)=\mu \end{eqnarray}$ vergiss es, das folgt ja wirklich aus der Unkorreliertheit
05.10.2006, 14:46	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@Marvin42 Quadratische Integrierbarkeit (= Existenz der Varianz) impliziert einfache Integrierbarkeit (= Existenz des Erwartungswertes), das ist hier nicht das Problem.
05.10.2006, 14:59	Marvin42	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, danke hast natürlich recht; aber wo steckt dann der Fehler: $\begin{eqnarray} E(X_i-\mu)=E(X_i)-E(\mu)=\mu-\mu \end{eqnarray}$
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05.10.2006, 15:11	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist kein Fehler, das ist absolut richtig. Ich bin es, der den Originalbeitrag nicht zu Ende gelesen hat: Was dort nachgewiesen werden soll, ist ja nicht das GgZ selbst, sondern nur diese Aussage über die Erwartungswerte. Ich hab mich an die Thread-Überschrift statt an die Formel gehalten.
05.10.2006, 15:15	Marvin42	Auf diesen Beitrag antworten »
für Georgii wäre das trotzdem etwas zu einfach oder sein Niveau ist in den letzten 10 Jahren deutlich gesunken
05.10.2006, 15:18	Kurt C. Hose	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau ... der REst des Beweis ist kein Problem ... die Zufallsvariablen sollen quadratintegrierbar und mit beschränkter Varianz, sowie pw unkorelliert sein. Wie daraus obige Gleichung folgen soll ist mir nicht klar.
05.10.2006, 15:39	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das gilt sogar für alle Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ , sofern nur deren Erwartungswert existiert. Den Beweis hat Marvin42 doch schon hingeschrieben - das basiert einfach nur Linearität E(X+Y)=E(X)+E(Y) des Erwartungswertes sowie der Tatsache, dass der Erwartungswert einer reellen Zahl diese Zahl selbst ist. Die Voraussetzungen wie quadratische Integrierbarkeit oder gar Unkorelliertheit sind für den Beweis dieser Gleichung nicht mal nötig. Das braucht man erst für den "Rest" des Beweises des GgZ.
05.10.2006, 16:28	Kurt C. Hose	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar ... das ergibt sich ja direkt aus der Definition des EW. $\begin{eqnarray} \int^{1}_{0} adx=a \end{eqnarray}$ macht Sinn! Danke

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