Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL

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18.11.2009, 20:53

jamaz

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Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
y'=(y-4)(y+1)
Wie lautet die Lösung zur Anfangsbedingung y(0)=6?

19.11.2009, 08:07

Kopfrechner

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
Methode Trennung der Variablen - Partialbruchzerlegung ..

19.11.2009, 14:30

jamaz

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
ich hab nach umformen der klammer folgendes da stehen. y' wird ersetzt durch dy/dx

dy/dx=y²-3y-4

wenn ich nun TdV anwende habe ich folgendes stehen.

dy/y²-3y-4=1dx

und jetzt soll ich die Partialbruchzerlegung durchführen?????????

19.11.2009, 15:47

Kopfrechner

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
Ja, steht doch oben:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y^2-3y-4} \end{eqnarray*}$ im Nenner faktorisieren und dann mit den Linearfaktoren zerlegen in zwei (Partial-)Brüche ...

19.11.2009, 18:08

jamaz

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
nach der partialbruchzerlegung habe ich nun stehen

1/y²-3y-4 dy=-0,2/y-4 +0,2/y+1 dy=1dx

das ganze integriert

-0,2ln(y-4)+0,2(y+1) =x+c

wenn das stimmt, wie müsste dann das ergebnis aussehen, also nach y (x) umgeformt

mein ergebnis ist y=e^5x +3 /2

19.11.2009, 18:15

vektorraum

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
Bemühe dich mal bitte, das ganze evtl. mit dem Formeleditor zu schreiben. Anscheindend stimmt deine Partialbruchzerlegung nicht, da musst du irgendwo einen Vorzeichendreher haben.

19.11.2009, 18:28

Kopfrechner

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
> nach der partialbruchzerlegung habe ich nun stehen
> 1/y²-3y-4 dy=-0,2/y-4 +0,2/y+1 dy=1dx

Ich habe 1/y²-3y-4 dy=0,2/(y-4) - 0,2/(y+1) dy=1dx, prüfe mal nach.

> das ganze integriert
> -0,2ln(y-4)+0,2(y+1) =x+c

Das wäre (bis auf die Vorzeichen) ok, aber jetzt gibt es Fehler beim Auflösen. Schreibe mal deine Zwischenschritte auf, damit wir den Fehler finden.

19.11.2009, 18:30

vektorraum

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL

Zitat:

Original von Kopfrechner
Schreibe mal deine Zwischenschritte auf, damit wir den Fehler finden.

Posts lesen - das habe ich schon notiert, das die Partialbruchzerlegung nicht stimmt. Demzufolge passt der Rest ja bzgl. des Vorzeichens auch nicht mehr. Den Rest muss er dann sowieso nochmal aufschreiben verwirrt

19.11.2009, 18:40

jamaz

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
formeleditor????????
ausserdem danke für deine mühe

19.11.2009, 18:42

vektorraum

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
Schau mal hier: Formeleditor.

Damit kann man so schöne Sachen machen wie

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\dd y}{(y-4)(y+1)}=\int \dd x \end{eqnarray*}$

Big Laugh

19.11.2009, 18:47

Kopfrechner

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
@Vektorraum: Etwas Gelassenheit ist erwünscht. Du wirst bemerkt haben, dass ich hier bereits einige Beiträge hatte ...

@jamaz: Zitiere einen Beitrag, dann siehst du die verwendeten Latex-Befehle und kannst sie anwenden/ abändern.

19.11.2009, 18:57

jamaz

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
also
$\begin{eqnarray*} -0,2 ln(y-4)+0,2 ln(y+1)=x \end{eqnarray*}$
geteilt durch 0,2 wegen dem kehrwert kommt man dann auf 5x
$\begin{eqnarray*} -ln(y-4)+ ln(y+1)=5x \end{eqnarray*}$
die e funktion angewendet
$\begin{eqnarray*} y-4+y+1=e^{5x} \end{eqnarray*}$
und dann umgestellt, wobei ich nicht zu 1000 prozent hinter meiner rechnung stehe =)
$\begin{eqnarray*} y=\frac{e^{5x}+3}{2} \end{eqnarray*}$

19.11.2009, 19:00

vektorraum

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL

Zitat:

Original von jamaz
$\begin{eqnarray*} -0,2 ln(y-4)+0,2 ln(y+1)=x \end{eqnarray*}$

Du musst auch mal die Beiträge lesen, deine Partialbruchzerlegung ist falsch. Es muss heißen

$\begin{eqnarray*} 0,2 \ln(y-4)-0,2 \ln(y+1)=x \end{eqnarray*}$

Außerdem musst du eine Integrationskonstante mitschleppen, d.h. wir haben

$\begin{eqnarray*} 0,2 \ln(y-4)-0,2 \ln(y+1)=x+C \end{eqnarray*}$

Und nun nochmal.

Noch ein Tipp: $\begin{eqnarray*} \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

19.11.2009, 19:02

jamaz

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
ok danke für deinen tipp aber ich bin skeptisch was das umformen zu y(x) angeht, auf welches ergebnis würdest du kommen????????ß

19.11.2009, 19:05

vektorraum

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
Das darfst du erstmal hinschreiben Augenzwinkern

Mit den oben genannten Korrekturen und dem Tipp sollte das nun kein Problem mehr sein Freude

19.11.2009, 19:12

jamaz

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
danke für dein vertrauen verwirrt

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{y-4}{y+1})=5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y-4}{y+1}=e^{5x}*K \end{eqnarray*}$

jetzt bin ich mir nicht sicher wie ich weiter machen soll, steh auf dem schlauch

19.11.2009, 19:17

vektorraum

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
Das hat nichts mit Vertrauen zu tun, aber auch ich kann mich heftig verrechnen und du überlegst dann, wie man auf die (vermeintlich falsche) Lösung kommt. Da kannst du den ersten Schritt machen...

Soweit sieht das sehr gut aus. Jetzt kannst du nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ umstellen, wobei du mehrere Möglichkeiten hast:

1.

$\begin{eqnarray*} \frac{y-4}{y+1}=\frac{y+1-5}{y+1}=\ldots \end{eqnarray*}$

2.

$\begin{eqnarray*} y-4=K\cdot e^{5x}\cdot (y+1) \end{eqnarray*}$

Klammer auflösen, nach y sortieren, wieder ausklammern, fertig.

19.11.2009, 19:22

jamaz

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
tu ich die klammer auflösen kürzt sich doch das y weg, oder??????

$\begin{eqnarray*} y-4= ke^{5x}y+ke^{5x} \end{eqnarray*}$

19.11.2009, 19:29

vektorraum

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
Um Himmels Willen, warum soll sich da was kürzen??? Außerdem tuen wir nicht...

Jetzt holst du alles, was mit $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ zu tun hat nach links, den Rest holst du nach rechts. Das sind nun aber wirklich Umformungen aus der Schule, achte Klasse.

19.11.2009, 19:36

jamaz

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
ich sag doch ich stehe total auf dem schlauch
vielleicht sehe ich den wald vor lauter bäumen nicht

$\begin{eqnarray*} y-4= ke^{5x}y+ke^{5x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y- ke^{5x}y=ke^{5x} \end{eqnarray*}$

ne du, ich bin total auf dem falschen dampfer

19.11.2009, 19:38

vektorraum

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
Es muss

$\begin{eqnarray*} y- ke^{5x}y=ke^{5x}+4 \end{eqnarray*}$

lauten, du hast die 4 unterschlagen. Jetzt klammerst du auf der linken Seite bitte noch das y aus. Dann teilst du durch den Rest und bist fertig - zumindest mit dem Auflösen nach y. Die Anfangswerte warten immer noch...

19.11.2009, 19:41

jamaz

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
ich habs glaub ich

$\begin{eqnarray*} y= \frac{ke^{5x}+4}{1-ke^{5x}} \end{eqnarray*}$

19.11.2009, 19:43

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
Gut, Integrationskonstante bestimmen.

19.11.2009, 19:43

jamaz

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RE: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
AWP y(0)=6

K= 2/7