Konvergenz einer Folge: Kettenbruch |
| 18.11.2009, 23:59 | thorbb | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Konvergenz einer Folge: Kettenbruch mein Hirn streikt beim Zeigen der Konvergenz einer Folge, die wie folgt definiert ist: (a1) := 1 (a n+1) := 1 + 1 / (an) Gezeigt werden soll, dass die Folge gegen die positive Lösung von g² - g -a = 0 konvergiert. Ausgeschrieben ergibt sich dann ein Kettenbruch mit n-1 Bruchstrichen, also 1+ 1/(1+1/(1+1/(1+1/1...))) Mir ist aufgefallen, dass die Folgeglieder über und unterm Bruch jeweils die Fibonacci-Reihe bilden, und das die Folge zunächst alterniert, sich dann aber dem g aus der Gleichung von beiden Seiten wechselnd annährt. ( 0,5 + Wurzel aus (5/4) ) Leider beginnt es mir aber weder mit der Definition des Grenzwertes I an - a I < € noch mit dem Couchy-Kriterium die Konvergenz zu beweisen. Ansonsten steht mir nur Monotonie zur Verfügung, mehr hatten wir eigentlich noch nicht. Ich habe auch schon daran gedacht, zwei Teilfolgen zu betrachten, eine monoton fallende und eine monoton steigende, die sich dann im Grenzwert treffen. Ich weiß allerdings nicht, wie ich das in die Praxis umsetzen soll. Mich stört beim rechnen einfach, dass in meiner Definition der Folge immer dieses (an) statt einem gewöhnlichen n auftaucht. Hoffe ihr könnt mir helfen! PS: Es eilt^^ |
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| 19.11.2009, 09:02 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast 2 sehr vielversprechende Ansätze erwähnt: 1. Die Folge hat eine größe Ähnlichkeit mit dem Quotient zweier benachbarter Fibonacci-Folgenglieder. Genau gesagt: Den Grenzwert der rechten Seite könnte man z.b. mit der expliziten Formel für die Fibonacci-Folge berechnen. 2. Du betrachtest die beiden Teilfolgen und . Die sind jeweils monoton und beschränkt. |
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| 19.11.2009, 10:03 | thorbb | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Konvergenz einer Folge: Kettenbruch ja, aber irgendwie kriege ich das einfach rechnerisch nicht hin. Ich glaube ich komme einfach mit diesen rekursiven Definitionen noch nicht richtig klar, die Fibonacci Folge wird ja selbst auch wieder rekursiv beschrieben. Also ich versteh zwar was damit gemeint ist und wie sich die Folge entwickelt, aber wie kann ich damit rechnen? Wir hatten sonst immer nur Folgen, die mit einer Funktionsvorschrift definiert wurden, da konnte man immer irgendwie das n isolieren oder sonst irgendwie "normal" rechnen. Kann ich dass mit (an) bzw (a n+1) in der Rechnung auch? edit: ich habe auch versucht einfach g in die Definition des grenzwertes einzusetzen, unsere dozentin meinte, das würde auch akzeptiert wenn wir es nicht anders hinkriegen, aber selbst da hatte ich das gleiche problem. wie kann ich denn zeigen, dass ein n in Abhängigkeit von delta gewählt werden kann, wenn ein n gar nicht in meiner Rechnung vorkommt, sondern nur (a n), man konn doch nicht so tuen als wäre (a n) n?! Naja versucht hab ich das auch schon, aber da muss man irgendwann durch g... - delta teilen, und da ich ja jedes delta größter null akzeptieren muss, kann ich nicht mal sagen ob die Summe größer oder kleiner als null ist, und somit nicht wie sich die Ungleichung verändert. mpf.... |
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