Konvergenz von Zahlenfolgen

19.11.2009, 13:03

seth

Konvergenz von Zahlenfolgen

Hallo
Ich habe Probleme mit der folgenden Aufgabe
Sei $\begin{eqnarray*} \left(a_{k}\right)_{k_\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ die reelle Zahlenfolge definiert durch $\begin{eqnarray*} a_{k}:=\frac{k!}{k^{k} } \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Ich sollte dann die Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray*} \left(a_{k}\right)_{k_\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ zeigen.
Könnt ihr mir mal Tipps geben wie ich an die Aufgabe rangehen sollte bzw wie ich anfangen könnte.
Um zu zeigen das die Zahlenfolge konvergent ist muss ich doch zeigen das sie gegen einen grenzwert konvergiert oder?

würde mich sehr freuen wenn ihr mir dabei weiterhelfen könnt.

19.11.2009, 13:15

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Zahlenfolgen
Hattet ihr schon Reihen? Wenn ja, zeige daß $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~a_k \end{eqnarray*}$ konvergiert.

19.11.2009, 13:43

seth

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danke für die antwort
kannst du das ein bisschen genauer erläutern?
sollte ich jetzt a als ein grenzwert festlegen? und $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ setzten und zeigen das $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~a_{k} \end{eqnarray*}$ gegen a=1 geht? Erstaunt2

19.11.2009, 13:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von seth
kannst du das ein bisschen genauer erläutern?

Erst wenn du mir sagst, ob du schon das Thema Reihen, Konvergenz von Reihen, Quotientenkriterium, etc. hattest. Sonst lohnt es sich nicht, über meinen Vorschlag nachzudenken.

19.11.2009, 14:12

seth

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Wir hatten zwar Reihen ,aber ich hatte vergessen zu schreiben das wir es anhand der Definition der Konvergenz machen sollten $\begin{eqnarray*} a_{n}\Rightarrow a :\equiv \forall epsilon > 0 \exists n_{0}\in \mathbb N \forall n\geq n_{0} : |a_{n}-a| < epsilon \end{eqnarray*}$

19.11.2009, 14:29

klarsoweit

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Dann solltest du etwas vorarbeiten. Zeige mit vollständiger Induktion, daß $\begin{eqnarray*} k! \leq k^{k-1} \end{eqnarray*}$ ist.

19.11.2009, 15:58

seth

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Ich habs mal versucht komme aber beim induktionsschritt nicht weiter

induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} \left(k= 1\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1!\leq 1^{-1} = 1\leq 1 \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung : $\begin{eqnarray*} k!\leq k^{k-1} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} \left(k\Rightarrow k+1\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k+1!\leq k^{k}+1= k!\leq k^{k-1} ??? \end{eqnarray*}$

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