Beweis, dass die Menge der Nullstellen eine Telmenge ist

19.11.2009, 14:18	Jackelbombi	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass die Menge der Nullstellen eine Telmenge ist Hallo, ich komme mit der Aufgabe überhaupt nicht klar. Ich weiß weder, was von mir verlangt ist noch, was ich machen muss. Ich habe einfach mal die ganzen Teilaufgaben reingeschrieben, falls einer irgendeine Idee zu einer der drei Aufgaben hat, bitte ich drum, diese zu posten. Seien X={ $\begin{eqnarray} x_1,...,x_m \end{eqnarray}$ } $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ und Y $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ endliche Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ mit \|Y\|<\|X\| und definiere Polynome $\begin{eqnarray} P_i \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} P_i \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} \prod\nolimits_{j=1}^m (x-x_j) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} (x-x_i) \end{eqnarray}$ und setze S:= { $\begin{eqnarray} P_i \end{eqnarray}$ \|i $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ {1,...,m}}. Sei V der Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . 1. Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ P $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ <S> $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ V so dass die Menge der Nullstellen von P genau Y ist. 2. Für X={1,2,3} und Y={}, berechnen Sie die Koordinatentupel $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ für ein solches P= $\begin{eqnarray} \sum\nolimits_{i=1}^3 \lambda_iP_i \end{eqnarray}$ wie in Teil (1) bezüglich S. 3. Zeigen Sie, dass Teil (1) nicht notwendig gilt, wenn Y $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ (nicht Y $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ). Vielen Dank für eure Hilfe!
19.11.2009, 14:29	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du dir da sicher mit der Definition? Das sind so keine Polynome. Wie wäre es mit $\begin{eqnarray} P_i(x) := \prod_{j=1, j\neq i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j} \end{eqnarray}$ ?
19.11.2009, 14:34	Jackelbombi	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie ich das hingeschrieben habe, stehts auch auf meinem Zettel, also das PI(x-xj) steht im Zähler und im Nenner steht nur (x-xi). Ich wusste nicht, wie ich den Bruch schreibe mit Latex
19.11.2009, 14:44	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja dann gibt es jetzt 2 Möglichkeiten: a) Du schreibst auf das Aufgabenblatt: P_i sind keine Polynome also ist die Aufgabe unlösbar oder b) Du schreibst dem Aufgabensteller eine Email und weißt ihn auf diesen Umstand hin
19.11.2009, 14:50	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage ist doch wie es genau aussieht , das hier $\begin{eqnarray} P_i := \prod\nolimits_{j=1}^m \frac{(x-x_j)}{(x-x_i)} \end{eqnarray}$ ist kein Polynom. Das hier $\begin{eqnarray} P_i := \frac{\prod\nolimits_{j=1}^m (x-x_j)}{(x-x_i)} ~ 1 \leq i \leq m \end{eqnarray}$ schon. Hier wurde mal wieder versäumt korrekt Klammern zu setzen wie ich das sehe.
19.11.2009, 14:54	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man so viele Jahre und ich erkenne immer noch nicht dass nur die Klammern falsch gesetzt wurden.Mein Blick fürs wesentliche war wohl getrübt weil ich unbedingt die Normierung haben wollte. + Naja jetzt wo das geklärt ist: Das ganze kommt aus der Theorie der Polynominterpolation. Die P_i sind Polynome vom Grad n-1. Ein Polynom vom Grad n-1 ist automatisch festgelegt durch Angabe vom n Punkte. Was passiert wenn du in deine P_i die Stützstellen x_1 bis x_n einsetzt?
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