Integration durch Substitution (+Quadratisches Ergänzen)

19.11.2009, 14:40

Wiesen

Integration durch Substitution (+Quadratisches Ergänzen)

Hallo,
ich finde meinen Fehler bei dieser Aufgabe nicht:
$\begin{eqnarray*} $\int_{-2}^{4} \! \sqrt{8+2x-x^2} \, dx.$ \end{eqnarray*}$
Mein Vorgehen:
A. Quadratisches Ergänzen
$\begin{eqnarray*} $8+2x-x^2=-(x^2-2x-8)=-(x-1)^2+1+8=9\cdot (1-(\frac{x-1}{3})^2)$ \end{eqnarray*}$
B. erste Substitution
$\begin{eqnarray*} $y=\frac{x-1}{3}$ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} $dy=\frac{1}{3}dx$ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} $dx=3dy$ \end{eqnarray*}$
(Integrationsgrenzen: $\begin{eqnarray*} $-2 \longrightarrow \frac{-2-1}{3}=-1$ \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} $4 \longrightarrow \frac{4-1}{3}=1$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $\Rightarrow 3\cdot \int_{-1}^{1} \! \sqrt{1-y^2} \, 3\cdot dy.$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $9\cdot \int_{-1}^{1} \! \sqrt{1-y^2} \, dy.$ \end{eqnarray*}$

C. 2. Substitution:
$\begin{eqnarray*} $y=\sin{t}$ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} $dt=\cos{t}dy$ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} $dy=\frac{dt}{\cos{t}}$ \end{eqnarray*}$
(Integrationsgrenzen: $\begin{eqnarray*} $-1 \longrightarrow - \frac{\pi}{2}$ \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} $1 \longrightarrow \frac{\pi}{2}$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $9\cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \! \sqrt{1-(\sin{t})^2} \, \frac{dt.}{\cos{t}} = 9\cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \! 1 \, dt. = 9\cdot (\frac{\pi}{2} - \frac{-\pi}{2})=9\cdot \pi$ \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis sollte aber $\begin{eqnarray*} $9\cdot \frac{\pi}{2}$ \end{eqnarray*}$ ergeben.
Danke für eure Hilfe

Wiesen

19.11.2009, 14:52

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution (+Quadratisches Ergänzen)

Zitat:

Original von Wiesen
C. 2. Substitution:
$\begin{eqnarray*} $y=\sin{t}$ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} $dt=\cos{t}dy$ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} $dy=\frac{dt}{\cos{t}}$ \end{eqnarray*}$

Das dt bzw. das dy sind falsch.

Zitat:

Original von Wiesen
$\begin{eqnarray*} $9\cdot \int_{-1}^{1} \! \sqrt{1-y^2} \, dy.$ \end{eqnarray*}$

Man könnte sich auch daran erinnern, daß da ein Halbkreis integriert wird, deren Fläche pi/2 ist. Augenzwinkern

19.11.2009, 14:53

vektorraum

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RE: Integration durch Substitution (+Quadratisches Ergänzen)
OK, hatte gerade einen Fehler gesehen, den du gerade editiert hast. Vielleicht schreibst du deine Änderungen irgendwie farbig, damit man später darauf Bezug nehmen kann, danke Freude

Mir scheint so, als das bei der zweiten Substitution etwas nicht stimmt, wenn du setzt

$\begin{eqnarray*} y=\sin t \end{eqnarray*}$ . Dann ist doch aber

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd t}=\cos t~\Leftrightarrow~\dd y=\cos t\dd t \end{eqnarray*}$

19.11.2009, 15:04

Wiesen

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danke, ich hab mal Teil C abgeändert:

C. 2. Substitution:
$\begin{eqnarray*} $y=\sin{t}$ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} $dy=\cos{t}dt$ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} $dy=\cos{t}\cdot dt$ \end{eqnarray*}$
(Integrationsgrenzen: $\begin{eqnarray*} $-1 \longrightarrow - \frac{\pi}{2}$ \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} $1 \longrightarrow \frac{\pi}{2}$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $9\cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \! \sqrt{1-(\sin{t})^2} \, \cos{t}\cdot dt = 9\cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \! (\cos{t})^2 \, dt. =?$ \end{eqnarray*}$

nur noch rausfinden, wie man cos^2 integriert Augenzwinkern

hab ich die Lösung gefundne - ich editiere den thread mal eben

19.11.2009, 15:12

vektorraum

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Genau, so passt das. Beachte aber auch den obigen Hinweis. Schau dir also vorher an, über welches Gebiet du integrierst.

19.11.2009, 15:25

Wiesen

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Folgende Identität hilft beim letzten Problem:
$\begin{eqnarray*} $(\cos{t})^2=\frac{1}{2} (1 +\cos{2t})$ \end{eqnarray*}$

mein Latex Können lässt etwas zu wünschen übrig ...
9 * Int(1/2*(1+cos(2t),dt) = 9/2*Int(1+cos(2t),dt)

das Ergebnis ist also $\begin{eqnarray*} $\frac{9}{2} (t+\sin(2t))$ \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} $\frac{-\pi}{2}$ \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} $\frac{\pi}{2}$ \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} $=\frac{9\cdot \pi}{4} + \sin{0} - (\frac{-9\cdot \pi}{4} + \sin{0})$ \end{eqnarray*}$
was genau $\begin{eqnarray*} $=\frac{9\cdot \pi}{2}$ \end{eqnarray*}$ ergibt.

19.11.2009, 15:35

vektorraum

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Zitat:

Original von Wiesen
das Ergebnis ist also $\begin{eqnarray*} $\frac{9}{2} (t+\sin(2t))$ \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} $\frac{-\pi}{2}$ \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} $\frac{\pi}{2}$ \end{eqnarray*}$

Da hast du natürlich noch ein 1/2 unterschlagen. Aber ansonsten müsste das ja jetzt passen.

Bleibt nur noch der Beweis der Identität Augenzwinkern

19.11.2009, 16:11

Wiesen

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okay, danke für die Hilfe

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