Rentenbarwert, Formelumstellung zur Bestimmung der Jahre

19.11.2009, 16:48

Firen

Rentenbarwert, Formelumstellung zur Bestimmung der Jahre

Edit (mY+): Hilfeersuchen sind unnötig, denn Hilfe bekommst du hier ohnehin. Aus dem Titel gestrichen!

Hallo ich habe ein kleines Problem beim Formelumstellen.

Also erstmal die Aufgabe ist folgende:

Aus 35.000 € angelegtes Kapital soll eine nachschüssige Rente von 4.400 € gezahlt werden. Die Verzinsung beträgt 7%. Wie viel Jahre kann man die Rente beziehen?

Damit ergeben sich folgende gegebene Werte:
gegeben: gesucht:
R0= 35.000 n
r= 4.400
q= 1,07

Wir rechnen mit folgender Formel:

$\begin{eqnarray*} R0=\frac{r*(q^n - 1)}{q^n * (q-1)} \end{eqnarray*}$

Der Taschenrechner eines wg kollegen ergab folgende Lösungsformel:

$\begin{eqnarray*} n= \frac{ln(\frac{r}{r - ( q - 1)*R0} }{ln (q)} \end{eqnarray*}$

Diese formel klappt auch nur weiß ich nicht wie ich komplett umstellen muss und wo überhaupt das 2. r herkommt o0

mein Lösungsansatz sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} R0=\frac{r*(q^n - 1)}{q^n * (q-1)} \end{eqnarray*}$ /*(q-1)

$\begin{eqnarray*} R0*(q-1)=\frac{r*(q^n -1)}{q^n} \end{eqnarray*}$ /: r

$\begin{eqnarray*} \frac{R0*(q-1)}{r} = \frac{(q^n -1)}{q^n} \end{eqnarray*}$

nur wie ich dann weiter machen muss damit ich die Formel vom Kollegen rausbekomme =\

kann mir da wer helfen? wäre nett =)

MfG

Hell

19.11.2009, 18:32

mYthos

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Links steht also eine konstante (bekannte) Zahl, nennen wir diese einmal c. Dann lautet die Gleichung

$\begin{eqnarray*} c = \frac{q^n-1}{q^n} \end{eqnarray*}$

Dies wird nun nach $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ und schließlich nach n umgeformt:

$\begin{eqnarray*} c q^n = q^n - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = q^n(1-c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q^n = \frac 1 {1 - c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \lg q = - \lg (1-c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n = - \frac {\lg (1-c)}{\lg q} \end{eqnarray*}$
___________________

c ist natürlich kleiner als 1.

mY+

19.11.2009, 18:50

Hellcase

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so hab mich jetz erstmal registriert =)

Zitat:

Original von mYthos
Links steht also eine konstante (bekannte) Zahl, nennen wir diese einmal c. Dann lautet die Gleichung

$\begin{eqnarray*} c = \frac{q^n-1}{q^n} \end{eqnarray*}$

Dies wird nun nach $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ und schließlich nach n umgeformt:

$\begin{eqnarray*} c q^n = q^n - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = q^n(1-c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q^n = \frac 1 {1 - c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \lg q = - \lg (1-c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n = - \frac {\lg (1-c)}{\lg q} \end{eqnarray*}$
___________________

c ist natürlich kleiner als 1.

mY+

also wenn ich c mit den gegebenen werten errechne bekomme ich für c ~0,55682

dann mach ich also / * $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$

und komme auf

$\begin{eqnarray*} c q^n = q^n - 1 \end{eqnarray*}$

aber ich verstehe jetzt nicht wie ich auf den ausdruck $\begin{eqnarray*} 1 = q^n(1-c) \end{eqnarray*}$
komme

glaub da war ich Kreide holen =\
ne ma im ernst wo geht das eine $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ hin und wo kommt die 2. eins her?

Der eine aus meiner wg wollts mir ned erklären meinte nur geh nochmal in die 5. klasse brüche rechnen ~.~'

MfG

Hell

19.11.2009, 20:35

Hellcase

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hmm edit funktion geht nicht o0

naja

habs raus Big Laugh

aber habs ein wenig anderster hinbekommen.

Also ich habs so gemacht

Als ausgangsgleichung sind wir bei

$\begin{eqnarray*} \frac{R0*(q-1)}{r}=\frac{q^n -1}{q^n} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich folgende Nebenrechnung gemacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{q^n -1}{q^n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{q^n}{q^n} + \frac{-1}{q^n} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 1+\frac{-1}{q^n} \end{eqnarray*}$

Und habe nun Folgende Formel erhalten

$\begin{eqnarray*} \frac{R0*(q-1)}{r}=1+\frac{-1}{q^n} \end{eqnarray*}$

dann habe ich
$\begin{eqnarray*} /\cdot ()^{-1} \end{eqnarray*}$

und bin auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{R0*q-1)}{r}-1 } \end{eqnarray*}$

gekommen. Anschließend $\begin{eqnarray*} /\cdot (-1) \end{eqnarray*}$

und auf

$\begin{eqnarray*} -(\frac{1}{\frac{R0*q-1)}{r}-1 })=q^n \end{eqnarray*}$

gekommen.

Dann nur noch Logarythmiert und durch den log q
$\begin{eqnarray*} Log(-(\frac{1}{\frac{R0*q-1)}{r}-1 })):Log(q)=n \end{eqnarray*}$

Das ergebnis der Aufgabe wären dann 12,03 Jahre Big Laugh

Sow jetz noch die restlichen Lösen und dann hab ich genug für heute ^^

MfG

HellcAse

19.11.2009, 21:35

mYthos

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Dein Resultat ist exakt richtig! smile

Aber bitte, wir schreiben richtig: logarithmieren

mY+

21.11.2009, 09:36

Hellcase

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Sorry rechtschreibung ist nicht grad meins ^^

Da ich dann auch irgendwie der einzigste war am Freitag mit erledigten Hausaufgaben, gabs bei mündlicher LK ne souveräne 1 Big Laugh

21.11.2009, 12:47

mYthos

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Na, dann herzliche Gratulation. Das freut smile

mY+

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