Komplexe, positiv definite Matrix ist hermitisch

19.11.2009, 18:20

xindon

Komplexe, positiv definite Matrix ist hermitisch

Hallo,

wieso ist jede komplexe, positiv definite Matrix immer hermitisch?

Läuft der Beweis dabei über die Eigenschaft positiv definiter Matrizen, dass das Skalarprodukt (Ax,x) > 0 für alle x!= 0 ist? Ich bin über jeden Ansatz sehr froh!

Vielen Dank im Voraus!

Gruß

20.11.2009, 09:28

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann tatsächlich bereits aus der Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray*} \langle Ax,x \rangle = x^*Ax \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ reell sein muss folgern, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hermitesch ist - ist es das, was du meinst?

Das ist schon ein wenig bemerkenswert, denn eine annähernd vergleichbare Folgerung für reelle Matrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aus $\begin{eqnarray*} \langle Ax,x \rangle = x^TAx \geq 0 \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist.

ist falsch, wie etwa das einfache Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ beweist.

20.11.2009, 09:41

sqwing

Auf diesen Beitrag antworten »

In wie weit siehst du hier einen Zusammenhang zwischen hermetisch und symmetrie?
oder habe ich das jetzt nur hier reingelesen?

20.11.2009, 10:38

Auf diesen Beitrag antworten »

Für reelle Matrizen ist hermitesch gleichbedeutend mit symmetrisch.

20.11.2009, 11:23

sqwing

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte die Matrix wäre in C?

20.11.2009, 11:44

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich rede von der Analogie, und nach der hast du ja nachgefragt. Bring doch bitte nicht alles durcheinander, sondern lies dir meinen obigen Beitrag gründlich (!) durch:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Das ist schon ein wenig bemerkenswert, denn eine annähernd vergleichbare Folgerung für reelle Matrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$

Zitat:

ist falsch, wie etwa das einfache Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ beweist.

Die hier im Thread zu diskutierende andere Frage für i.a. komplexe Matrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bleibt davon unbenommen.

Neue Frage »

Antworten »

Komplexe, positiv definite Matrix ist hermitisch

Verwandte Themen