Lagrange-Methode

19.11.2009, 18:30

Franziiii

Lagrange-Methode

hallo, also ich hab folgende Lagrangefunktion gegeben:

$\begin{eqnarray*} L=x^{-1/2} + y^{-1/2} + z^{-1/2}-\lambda (x+y+z-3a) \end{eqnarray*}$

die Aufgabe: Ermitteln Sie die möglichen Extrempunkte dieser Funktion.

Bedingung erster Ordnung:

1) $\begin{eqnarray*} Lx = \frac{1}{2}x^{-1/2}-\lambda \end{eqnarray*}$ ----> $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{1}{2\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} Ly = \frac{1}{2}y^{-1/2}-\lambda \end{eqnarray*}$ ----> $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{1}{2\sqrt{y} } \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} Lz = \frac{1}{2}z^{-1/2}-\lambda \end{eqnarray*}$ ----> $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{1}{2\sqrt{z} } \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} L\lambda = -(x+y+z-3a) \end{eqnarray*}$ ----> $\begin{eqnarray*} x+y+z=3a \end{eqnarray*}$

naja wenn man 1) bis 3) gleichsetzt sieht man ja das $\begin{eqnarray*} x=y=z \end{eqnarray*}$

und jetz weiß ich nich weiter unglücklich

also ich weiß zwar das irgendwie dann rauskommt 3x=3a ..aber ich weiß nich wie man darauf kommt!
ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!

vielen dank im vorraus

19.11.2009, 18:42

Mystic

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Also ich fasse zusammen: Du hast die 3 linearen Gleichungen

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{llllll} x+&y+&z=&3a\\x -&y&=&0\\x-&&z=&0 \end{array} \end{eqnarray*}$

und weißt nicht, wie man sie löst? Hab ich das so richtig verstanden? verwirrt

19.11.2009, 18:47

Franziiii

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also irgendwie steh ich grad voll aufm schlauch..wo hast du die linearen gleichungssysteme jetzt her? Erstaunt2

19.11.2009, 18:50

Mystic

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RE: Lagrange-Methode
Ich habe das deinen Angaben, nämlich

Zitat:

Original von Franziiii

4) $\begin{eqnarray*} L\lambda = -(x+y+z-3a) \end{eqnarray*}$ ----> $\begin{eqnarray*} x+y+z=3a \end{eqnarray*}$

naja wenn man 1) bis 3) gleichsetzt sieht man ja das $\begin{eqnarray*} x=y=z \end{eqnarray*}$

entnommen, und das stimmt ja auch...

19.11.2009, 19:02

Franziiii

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ja also das lineare gleichungssystem hab ich einfach mitm gauß-verfahren gelöst und oh wunder oh wunder Augenzwinkern

x=a , y=a, z=a

aba trotzdem versteh ich nich wie du auf die zweite und dritte Zeile beim Gleichungssystem gekommen bist..ich seh nur das offensichtliche mit x+y+z=3a

19.11.2009, 19:39

Franziiii

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?

ich kann heute sonst nicht einschlafen... unglücklich

19.11.2009, 19:48

Mystic

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Nachmals: Du hast oben geschrieben, dass

$\begin{eqnarray*} x=y=z \end{eqnarray*}$

aus den Gleichungen folgt, die man durch Nullsetzen der 4 partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion erhält, was ja auch tatächlich richtig ist... Nun gilt aber

$\begin{eqnarray*} x = y \Leftrightarrow x -y =0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x = z \Leftrightarrow x -z =0 \end{eqnarray*}$

Natürlich gilt auch

$\begin{eqnarray*} y = z \Leftrightarrow y -z =0 \end{eqnarray*}$

doch hätte es keinen Sinn, das als weitere Gleichung dazuzunehmen, weil sie bereits aus den anderen folgt..

19.11.2009, 19:53

Franziiii

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oh man, darauf wäre ich ja in hundert jahren nicht gekommen, obwohls ja echt logisch ist, naja hab den wald vor lauter bäumen nich gesehen Augenzwinkern

vielen vielen dank, auch für deine geduld Gott

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