Gauß-Klammer - Rechenregeln

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19.11.2009, 19:27	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß-Klammer - Rechenregeln Guten Abend, ich soll folgende Eigenschaften der Gauß-Klammern zeigen: 1) $\begin{eqnarray} \lfloor x+m \rfloor = \lfloor x \rfloor + m, x\in \mathbb R, m \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \lfloor x+y \rfloor - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor \in \{ 0,1\}, x,y \in \mathbb R \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} \lfloor \frac{x}{n} \rfloor = \lfloor \frac{\lfloor x \rfloor}{n} \rfloor, x \in \mathbb R, n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Ich habe versucht die Definition zu verwenden, aber dann habe ich einen Ausdruck mit Maximum dastehen und kommen nicht weiter. Wie kann man hier geschickter vorgehen? zu 1) $\begin{eqnarray} \lfloor x+m \rfloor = \max \{ n \in \mathbb Z: n \leq x+m\} = \max \{ n \in \mathbb Z: n-m \leq x\}= \max \{ n' \in \mathbb Z: n' \leq x\} + m \end{eqnarray}$ Könnte man das so machen? Mir fehlt eine Begründung, warum man das m herausziehen darf. Bei den anderen beiden fehlt mir noch gar nichts ein. Vielen Dank schonmal.
19.11.2009, 19:57	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gauß-Klammer - Rechenregeln Sieht doch schon sehr gut aus. Vielleicht ergänzt du noch wie folgt (bedenke das m fest gewählt ist): $\begin{eqnarray} \lfloor x+m \rfloor &=& \max \{ n \in \mathbb Z: n \leq x+m\} = \max \{ n \in \mathbb Z: n-m \leq x\}\\ &\overset{n':=n-m}{=}&\max\{n'+m\in\mathbb{Z}: n'\leq x\}= \max \{ n' \in \mathbb Z: n' \leq x\} + m \end{eqnarray}$
19.11.2009, 20:04	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Super kann man das analog auf die anderen Fälle übertragen? Gerade die 2) macht mir Sorgen. Anschaulich ist es klar, aber wie schreibt man es auf. Hmm
21.11.2009, 14:50	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Tag, bei den anderen beiden komme ich einfach nicht weiter. Ich schreibe mir die Definitionen hin und weiß dann nicht weiter. Vielleicht könnte mich jemand von euch da unterstützen? Gruß
22.11.2009, 17:50	JohnGalt	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der zweiten kannst du folgende Ungleichung verwenden: $\begin{eqnarray} \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x + y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1 \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} 0 \leq \lfloor x + y \rfloor - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor \leq 1 \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \lfloor x + y \rfloor , \lfloor x \rfloor , \lfloor y \rfloor \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ gilt auch $\begin{eqnarray} \lfloor x + y \rfloor - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \lfloor x + y \rfloor - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor \in \{0,1\} \end{eqnarray}$ Ob du die Ungleichung einfach so verwenden darfst, oder ob du sie beweisen muss weiß ich aber nicht.
22.11.2009, 18:21	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, die Ungleichung darf man als gegeben voraus setzen! Hat jemand eine Idee zur 3). Woher bekomme ich die zweite Gauß-Klammer auf der rechten Seite? Vielen Dank
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22.11.2009, 18:32	JohnGalt	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} x := m + \alpha mit 0 \leq \alpha \leq 1 und m = qn +r \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} \lfloor x \rfloor = m \Rightarrow \frac{\lfloor x \rfloor}{n} = \frac{m}{n} = q +\frac{r}{n} \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \lfloor \frac{\lfloor x \rfloor}{n} \rfloor = q \end{eqnarray}$ Es gilt aber auch $\begin{eqnarray} \frac{x}{n} = q +\frac{r + \alpha}{n} \Rightarrow \lfloor \frac{x}{n} = q\rfloor \end{eqnarray}$ Und damit dann das geforderte. Sollte so gehen denke ich.
22.11.2009, 18:38	JohnGalt	Auf diesen Beitrag antworten »
Kanns nicht mehr editieren, aber in der ersten Zeile müssen natürlich Leerzeichen mit rein und in der letzten muss das =q aus den Gaußklammern raus
22.11.2009, 18:56	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke JohnGalt, melde dich doch mal an Schönen Gruß

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