Reihen

19.11.2009, 19:39

Lisa1

Reihen

Hallo Leute habe eine dringende Frage an euch weil ich das einfach nicht verstehe.
Wieso divergiert die Reihe 1/n ?
UND Wieso konvergiert die Reihe 1/n^2. sie müsste doch dann auch divergieren also gegen plus unendlich????? ICH VERSTEH DAS einfach nicht. Wäre super lieb wenn mir das mal jemand erklären könnte.

19.11.2009, 19:46

Dual Space

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RE: Reihen
Also mal ganz lax gesprochen:

Ob die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert oder divergiert hängt maßgeblich davon ab, wie "schnell" die Folge $\begin{eqnarray*} \{a_n\} \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert.

Diese "Geschwindigkeit" kann man zum Beispiel mit dem Quotientenkriterium messen. Dieses besagt dann, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=1/n^2 \end{eqnarray*}$ sich schnell genug der Null nähert.

Die "Geschwindigkeit" mit der die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=1/n \end{eqnarray*}$ gegen die Null läuft richt nun gerade nicht mehr für die Reihenkonvergenz aus. Sie ist sozusagen ein Grenzfall. Jede Folge die "schneller" gegen Null konvergiert als $\begin{eqnarray*} a_n=1/n \end{eqnarray*}$ "liefert" eine konvergente Reihe. Die Folgen die langsamer oder genauso "schnell" konvergieren wie $\begin{eqnarray*} a_n=1/n \end{eqnarray*}$ hingegen nicht.

19.11.2009, 19:59

hakan1

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RE: Reihen
du sprichst die ganze zeit von folgen du musst dich doch hierbei auf Reihen beziehen oder nicht.

du sagst:....... die Folge 1/n^2 sich schnell gegen die Null nähert. müsste man nicht sagen die Reihe 1/n^2 sich schneller gegen die Null näher.

weil die FOLGE 1/n konvergiert ja gegen Null genau so wie die FOLGE 1/n^2 gegen Null konvergiert oder nicht?

19.11.2009, 20:01

Mystic

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RE: Reihen

Zitat:

Original von Dual Space
Jede Folge die "schneller" gegen Null konvergiert als $\begin{eqnarray*} a_n=1/n \end{eqnarray*}$ "liefert" eine konvergente Reihe. Die Folgen die langsamer oder genauso "schnell" konvergieren wie $\begin{eqnarray*} a_n=1/n \end{eqnarray*}$ hingegen nicht.

Ist jetzt ein bißchen zu vereinfacht, denn die Reihen mit den Folgengliedern

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac 1 {p_n} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ die n-te Primzahl in der natürlichen Reihenfolge bezeichnet divergiert ja auch noch, soiwe auch die Reihe mit

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac 1 {n \ln n} \end{eqnarray*}$

Richtig ist dagegen, dass die Reuhe mit

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac 1 {n^{1+\epsilon}} \end{eqnarray*}$

für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ konvergiert und die Reihe mit

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac 1 {n^{1-\epsilon}} \end{eqnarray*}$

für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ divergiert... Ich weiß nicht, ob die letzten beiden Formulierungen für den TE verständlich sind, aber sie erlauben jedenfalls keine weitere Vereinfachung...

19.11.2009, 20:08

hakan1

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RE: Reihen
ehmm sorry aber das verstehe ich ja mal überhaupt nicht.
Ich nehme jetzt einfach an das die reihe 1/n^2 konvergiert weil die sich schneller der Null näher und die Reihe 1/n divergiert weil die sicht nicht so schnell der Null nähert.
Kann man das so vereinfacht sagen?

19.11.2009, 20:15

Dual Space

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RE: Reihen

Zitat:

Original von hakan1
du sprichst die ganze zeit von folgen du musst dich doch hierbei auf Reihen beziehen oder nicht.

Nein, das ist hab es schon so geschrieben wie es gemeint habe. Zur Sicherheit:

Das Konstrukt $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ beschreibt eine REIHE. Das Symbol $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist eine FOLGE (eigentlich nur das n-te Folgenglied, aber wir wollen es einfach halten).

Zitat:

du sagst:....... die Folge 1/n^2 sich schnell gegen die Null nähert. müsste man nicht sagen die Reihe 1/n^2 sich schneller gegen die Null näher.

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \tfrac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ hat einen Wert verschieden von Null - nähert sich also überhaupt nicht der Null.

Zitat:

weil die FOLGE 1/n konvergiert ja gegen Null genau so wie die FOLGE 1/n^2 gegen Null konvergiert oder nicht?

Beide Folgen konvergieren gegen Null - ja. Aber die eine halt "schneller" als die andere. Was genau "schneller" nun bedeutet lasse ich hier mal dahingestellt. Das kann man mathematisch präzise Aufschreiben, aber das würde nichts zum Verständnis beitragen. Wenn man sich das Quotientenkriterium mal genau anschaut hat man schonmal eine Interpretation von "schneller" vor Augen.

Zitat:

Original von Mystic
Ist jetzt ein bißchen zu vereinfacht, ...

Stimmt. Wie ich sagte "lax gesprochen". Außerdem habe ich mich bewusst nicht auf eine präzise (und allgemeine) Deutung von "schneller" hinreißen lassen. Augenzwinkern

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