Folge, Beschränktheit, Grenzwert

19.11.2009, 20:06	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge, Beschränktheit, Grenzwert Hallo Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgaben: 1. Zeigen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray} ((1+\frac{1}{n})^n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ durch 2 nach unten und 4 nach oben beschränkt ist. Dass sie nach unten durch 2 beschränkt ist, habe ich wie folgt gezeigt: $\begin{eqnarray} a_n= (1+\frac{1}{n})^n \geq 1 + \frac{1}{n}n=1+1=2 \end{eqnarray}$ Kann man das so machen??? Wie beweise ich nun aber, dass sie nach oben durch 4 beschränkt ist? 2. Sei $\begin{eqnarray} 0 < a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ die Folge mit $\begin{eqnarray} a_0=a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n + \frac{a}{a_0}) \end{eqnarray}$ . Nehmen Sie an, dass diese Folge konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert x. Hinweis: betrachten sie die Folge $\begin{eqnarray} (a_na_{n+1})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ . Hier habe ich leider überhaupt keine idee???
20.11.2009, 15:21	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge, Beschränktheit, Grenzwert Hat denn keiner eine idee????
20.11.2009, 15:24	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge, Beschränktheit, Grenzwert Ein bißchen selber denken kann ja auch nicht schaden. Ich würde mal auf $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray}$ die binomische Formel anwenden und die Summanden geeignet nach oben abschätzen.
20.11.2009, 15:29	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge, Beschränktheit, Grenzwert ja, das ist mir klar, nur wie, nach unten ist ja klar, das ist die bernoullische ungleichung, aber nach oben fällt mir nichts geschicktes ein.
20.11.2009, 15:57	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge, Beschränktheit, Grenzwert Anscheinend probierst du aber auch trotz Hinweis nichts. $\begin{eqnarray} (1 + \frac 1 n)^n = \sum_{k=0}^n~\binom n k 1^{n-k}(\frac 1 n)^k = \sum_{k=0}^n~\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}~\frac{1}{n^k} \end{eqnarray}$ Jetzt muß man nur noch zeigen, daß $\begin{eqnarray} \frac{n!}{(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^k} \leq 1 \end{eqnarray}$ ist.

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