Teilbarkeit durch 3

19.11.2009, 20:32

Kalli2671990

Teilbarkeit durch 3

Ich habe folgendes Problem:

Ich soll beweisen, dass $\begin{eqnarray*} 2^{2n} - 1 \end{eqnarray*}$ durch 3 teilbar ist. Ich hab mit Induktion angefangen. Für 1 gilt es ja offensichtlich. Bin dafür es für n+1 zu bewiesen. Jetzt hab ich $\begin{eqnarray*} 2^{2(n+1)} - 1 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 2^{n} \cdot 2^{2} - 1 \end{eqnarray*}$ umgeformt.

Weitere Überlegung: Wenn man eine Potenz von 2 durch 3 teilt, dann bleibt entweder Rest 1 oder Rest 2. Nun hab ich die ersten paar Zahlen ausprobiert, und für alle mit einer ungeraden Potenz haben Rest 2 und alle mit gerader Potenz hatten Rest 1. Nur hab ich das wie gesagt nur für ein paar Zahlen ausprobiert.

19.11.2009, 21:09

kiste

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Hallo,

kennst du den Binomialsatz`?

Dann wäre 4^n - 1 = (3+1)^n - 1 eine Beweisidee ohne Induktion

19.11.2009, 22:33

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hi,

mit

$\begin{eqnarray*} 2^{2n}-1=(2^n)^2-1=(2^n-1) \cdot (2^n+1) \end{eqnarray*}$

müßte sich der induktionsbeweis führen lassen.

grüße

_t

20.11.2009, 09:24

Kühlkiste

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Zitat:

Original von _t
hi,

mit

$\begin{eqnarray*} 2^{2n}-1=(2^n)^2-1=(2^n-1) \cdot (2^n+1) \end{eqnarray*}$

müßte sich der induktionsbeweis führen lassen.

grüße

_t

Ich sehe nicht, wie die IV da ziehen soll.

Induktion ist auf jeden Fall der richtige Weg. Beim Induktionsschritt beachtest Du dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} 2^{2(n+1)}-1=4\cdot2^{2n}-1=3\cdot2^{2n}+\left(2^{2n}-1\right) \end{eqnarray*}$

20.11.2009, 11:51

tmo

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Zitat:

Original von _t
hi,

mit

$\begin{eqnarray*} 2^{2n}-1=(2^n)^2-1=(2^n-1) \cdot (2^n+1) \end{eqnarray*}$

müßte sich der induktionsbeweis führen lassen.

grüße

_t

Damit geht es einfach ohne Induktion

$\begin{eqnarray*} (2^n-1)2^n(2^n+1) \end{eqnarray*}$ ist durch 3 teilbar. $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ ist es nicht...

20.11.2009, 16:41

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hallo kühlkiste u tmo,

danke für die korrektur und ergänzungen.

@kalli

sorry für den blödsinn meinerseits. geschockt

grüße

_t

20.11.2009, 17:18

tmo

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Das war doch kein Blödsinn, das war in meinen Augen sogar der elleganteste Ansatz diese Aufgabe sehr elementar zu lösen Augenzwinkern

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