Beweis Bijektivität, Abbildung Gruppe

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19.11.2009, 21:20	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Bijektivität, Abbildung Gruppe HI, es gibt eine Gruppe G=(G,°) , sei x in G zu zeigen: Abbildung m: G -> G, y -> y ° x ist bijektiv Gibt es ne bestimmte vorgehensweise weil es ne Gruppe ist die sich auf sich selbst abbildet? Oder mache ich es ganz einfach über Definitionen? Freue mich über Antworten mit Ansätzen/ Vorschlägen Meine Überlegungen: Bei einer bijektiven Abbildung gibt es auch eine Umkehrabbildung also muss es auch so gehen : y ° x -> y Ja... und jetzt könnte man vielleicht Umformen mit den Gruppeneigenschaften.... Hilfe!
19.11.2009, 21:24	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Man kann die Umkehrfunktion direkt angeben. Sie hat auch eine Gestalt ähnlich zu deinem m. Schau mal in die Richtung
19.11.2009, 21:29	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe ich nicht.... hab doch schon hingeschrieben dass Umkehrfkt so aussehen müsste y ° x -> y Das hab ich doch direkt angegeben oder nicht?
19.11.2009, 21:31	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, aber das ist doch keine Abbildungsvorschrift?! Eine Abbildungsvorschrift sieht so aus: y \|-> f(y)
19.11.2009, 21:39	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was heißt das jetzt speziell in meinem Fall?
19.11.2009, 21:51	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Was muss z sein damit z°x = y ist?
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19.11.2009, 21:53	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
hab gerade einen geistesblitz könnte die umkehrabbildung so aussehen? y -> y ° x ^-1 ???? und wenn ja kann ich es einfach so angeben? indem ich es links mit der inversen zu x multipliziert habe??
19.11.2009, 21:55	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau Deine Frage verstehe ich nicht.
19.11.2009, 21:57	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
ok.. muss ich es nicht speziell zeigen wie ich auf die umkehrabbildung gekommen bin? oder soll ich sie einfach angeben und dazu nen satz schreiben dass es für alle x,y gilt?
19.11.2009, 22:00	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein man braucht keine Begründung wie man darauf kommt wenn man zeigt dass es das geforderte erfüllt(also wirklich eine Umkehrfunktion ist)
19.11.2009, 22:04	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
und wie zeige ich dass es tatsächlich eine umkehrfunktion ist?
19.11.2009, 22:07	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} m_x(y) = y\circ x \end{eqnarray}$ . Damit gilt $\begin{eqnarray} m_{x_1}\circ m_{x_2} = m_{x_2\circ x_1} \end{eqnarray}$ . Beweise dies(durch reines Einsetzen). Damit folgt dass $\begin{eqnarray} m_{x} \circ m_{x^{-1}} = m_1 = \mathrm{id} \end{eqnarray}$
19.11.2009, 22:21	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
was bedeutet es eigentlich wenn man m(y) schreibt? gehört es zu der umkehrabbildung? denn bei der abbildung würde es ja m(x) heißen ... Nun setze ich ein $\begin{eqnarray} (y\circ x_1) \circ (y \circ x_2 ) = y \circ (x_1 \circ x_2) \end{eqnarray}$ richtig? Soll ich die gleichung auch bei der folgerung einsetzen? $\begin{eqnarray} y \circ x \circ y \circ x^{-1} = y \circ e = y \end{eqnarray}$ richtig??
19.11.2009, 22:24	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Notation von dir ist so leider falsch da die Verknüpfung der Funktionen sich nicht so darstellen lässt, deine Rechnungen stimmen so. Vielmehr gilt eben: $\begin{eqnarray} (m_{x_1}\circ m_{x_2})(y) = m_{x_1}(y\circ x_2) = (y\circ x_2) \circ x_1 = m_{x_2\circ x_1}(y) \end{eqnarray}$ Wie die Folgerung dann abläuft habe ich schon geschrieben
19.11.2009, 22:27	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
ja... hab selbst gerade nachgeschaft dass ja y auf die verknüpfung abgebildet wird und nicht x tut mir leid.... achso... ich wusste gar nicht dass ich es so schreiben kann.... was war jetzt nochmal genau falsch??? nicht dass ich durcheinander komme und mus sich es in der folgerung auch einsetzen oder nicht?
19.11.2009, 22:28	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Notation war falsch. Ich weiß nicht was du mit Folgerung einsetzen meinst, setzt du meine beiden Beiträge zusammen hast du den gesamten Beweis
19.11.2009, 22:30	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, vielen dank!

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