Gleichseitiges Dreieck über Dreieck

19.11.2009, 21:27

Anne0506

Gleichseitiges Dreieck über Dreieck

Wir haben folgende Aufgabe erhalten und ich komme irgendwie nicht weiter:

Wir gehen von einem Dreieck ABC aus und zeichnen über jeder Seite ein gleichseitiges Dreieck. Die jeweils neue Ecke nennen wir A', B' und C'. Beweisen Sie, dass die Strecken BC', AB' und CA' gleich lang sind.
(wobei A' bei a entsteht, B' bei b und C' bei c)

Ich dachte erst, es entstehen drei kongruente Dreiecke, aber sobald ich die Punkte verschiebe, sind die nicht mehr gleich. Das einzige, was einen Beweis herführen könnte ist meiner Meinung der Mittelpunkt der drei Strecken, der entsteht und immer bleibt, egal wie das Dreieck ist. Ich hoff ihr könnt mr ein bisschen auf die Sprünge helfen! =)
Gruß

20.11.2009, 00:07

Leopold

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RE: Gleichseitiges Dreieck über Dreieck

Zitat:

Original von Anne0506
Beweisen Sie, dass die Strecken BC', AB' und CA' gleich lang sind.
(wobei A' bei a entsteht, B' bei b und C' bei c)

Die genannten Strecken sind im allgemeinen nicht gleich lang, wie eine schnell auf das Blatt gekritzelte Skizze offenbart (es sind ja genau die Längen der Seiten des ursprünglichen Dreiecks).

Falsche oder unvollständige Aufgabenstellung!

20.11.2009, 02:27

Rechenschieber

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Ich hab es gezeichnet und berechnen lassen.
Die Angaben kann man so geben.
Es gilt tatsächlich den Beweis zu führen.

Hier ein Beispiel mit einem rechtwinkligen Dreieck: 3:4:5
Allerdings habe ich die Bezeichnungen korrigiert, so dass es sich jetzt um die Strecken AA', BB' und CC' handelt.
LGR

20.11.2009, 08:38

Leopold

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Und die Länge dieser Strecken ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2} \left( a^2 + b^2 + c^2 +4\sqrt{3} \, F \right)} \end{eqnarray*}$ , worin $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ die Seitenlängen und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ der Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks sind.

EDIT
$\begin{eqnarray*} -4\sqrt{3} \, F \end{eqnarray*}$ nach Hinweis von Gualtiero in $\begin{eqnarray*} +4\sqrt{3} \, F \end{eqnarray*}$ korrigiert.

20.11.2009, 10:18

Anne0506

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und wie kann ich das jetzt mit kongruenz oder ähnlichem beweisen?

20.11.2009, 11:07

Gualtiero

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RE: Gleichseitiges Dreieck über Dreieck

Zitat:

Original von Anne0506
Das einzige, was einen Beweis herführen könnte ist meiner Meinung der Mittelpunkt der drei Strecken, der entsteht und immer bleibt, egal wie das Dreieck ist.

Du meinst den Schnittpunkt der drei Strecken, oder? verwirrt

Ich habe die Aufgabe mit einem allgemeinen Dreieck gezeichnet, dass alle Sonderfälle ausgeschieden sind.

[attach]12108[/attach]

Vielleicht geht das mit einem Vektorzug, habe es aber noch nicht probiert.

20.11.2009, 14:25

Leopold

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siehe Fermat-Punkt

20.11.2009, 20:13

riwe

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Zitat:

Original von Leopold
Und die Länge dieser Strecken ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2} \left( a^2 + b^2 + c^2 -4\sqrt{3} \, F \right)} \end{eqnarray*}$ , worin $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ die Seitenlängen und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ der Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks sind.

folgt wohl diesen Pfaden

womit auch die Gleichheit der 3 Strecken bewiesen wäre.

20.11.2009, 21:18

Gualtiero

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Das Minus sollte ein Plus sein, sodass $\begin{eqnarray*} 4 \sqrt {3} F \end{eqnarray*}$ addiert statt subtrahiert wird.

Beispiel von Rechenschieber mit F = 3 * 4 / 2 = 6: $\begin{eqnarray*} \,\,\, 6.7664 . . . =\sqrt{\frac{1}{2}\cdot (9+16+25+4 \cdot \sqrt{3} \cdot 6)} \end{eqnarray*}$

. . . oder ich kann nicht mehr rechnen (wäre auch möglich Big Laugh