alle Lösungen eines DGL-Systems bestimmen

19.11.2009, 22:11

LisaH

alle Lösungen eines DGL-Systems bestimmen

Hallo Leute,

ich komme bei meiner Hausaufgabe leider nicht ganz weiter... folgendes ist gegeben:

y1´ = y1
y2´ = 3*y1 - 2*y2

Gefragt sind alle Lösungen des Differentialgleichungssystems und außerdem soll noch eine Lösung mit y1(0) = 1 und y2(0) = 0 gefunden werden.

Für y1 ist es ja recht einfach => y1 = $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ .

Wie mache ich das denn nun für y2? Denn da komme ich nicht so einfach auf die 0 :\?!

19.11.2009, 23:42

giles

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Hallo,

gegeben ist die Glg
$\begin{eqnarray*} -3e^x=y_2'+2y_2 \end{eqnarray*}$
mit dieser Form kann man die Lösung fast schon erraten, aber ich verrate dir mal eine gute Lösungstechnik für diese spezielle Art der DGls, weil sie häufig vorkommt:
mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} y_2=e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ hast du hier ein Polynom in $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} P(\lambda)=\lambda + 2 \end{eqnarray*}$

Allgemein:
falls die Inhomogentität (das auf der linken Seite der Gleichung) die Form $\begin{eqnarray*} \alpha e^{\mu x} \end{eqnarray*}$ hat und $\begin{eqnarray*} P(\mu)\neq 0 \end{eqnarray*}$ dann ist eine spezielle Lösung $\begin{eqnarray*} \psi (x) \end{eqnarray*}$ der DGl von der Form
$\begin{eqnarray*} \psi (x)= \frac{\alpha}{P(\mu)}e^{\mu x} \end{eqnarray*}$

Versuch das hier mal, das schenkt dir direkt die Lösung.

MfG

20.11.2009, 20:59

vektorraum

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RE: alle Lösungen eines DGL-Systems bestimmen
Du musst beachten, dass es sich hierbei um ein System erster Ordnung handelt, bei dem $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ abhängt.

Welche Verfahren habt ihr denn schon behandelt bei der Lösung solcher Systeme?

20.11.2009, 21:16

giles

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Hallo vektorraum,

wie hängt $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ denn hier von $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ ab? $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ ist durch die obere DGl schon eindeutig gegeben.
Die Kopplungsmatrix hat Dreiecksgestalt und das System kann von oben nach unten gelöst werden. Eigenwerttheorie ginge hier auch, wäre aber klar overkill (wenn auch ein sehr eleganter).

MfG

20.11.2009, 21:26

vektorraum

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Zitat:

Original von giles
wie hängt $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ denn hier von $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ ab?

War natürlich andersherum gemeint Augenzwinkern

Klar, es gibt mehrere Möglichkeiten. Schauen wir mal, welche der Aufgabensteller kennt.

22.11.2009, 13:59

LisaH

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Hallo,

danke für den Lösungsansatz, hab iwie gar nicht dran gedacht, dass das eine inhomogene DGL ist smile

also, ich habe jetzt als allgemeine Lösung $\begin{eqnarray*} y2(x) = -2ce^{-2x} + ce^{-2x} - e^{x} \end{eqnarray*}$

und als spez. Lösung mit dem Anfangswert 0 => c = -1

kommt das hin smile

22.11.2009, 18:10

LisaH

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hm hm hm

22.11.2009, 22:18

LisaH

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Kann mir denn niemand die Lösung bestätigen unglücklich

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