Kurvenintegral im Vektorfeld von A nach B

19.11.2009, 22:13

Schalapenjo

Kurvenintegral im Vektorfeld von A nach B

Guten Abend!

Da ich neu in diesem Forum bin, bitte ich eventuelle "Formfehler" zu entschuldigen.
Ich werde mich im laufe der Zeit mit den Gegenbenheiten vertraut machen. ;-)

Nun zur Aufgabe (das ^T steht für "transponiert" da ich die Vektordarstellung noch nicht hinbekomme) :

Gegeben sei das Vektorfeld:

f=(2x ; y+z, z)^T

Gesucht wird das Kurvenintegral für A=(1,0,0)^T und B=(1,1,-1)^T

-> Die Lösung ist I=1/2

Alle Ansätze und Beispiele, die ich bis jetzt gefunden haben, hantieren immer mit einem "t" Parameter herum, was aber hier keinen richtigen Sinn macht.

Ich hoffe auf eine Lösung und bedanke mich bereits im voraus für ein durchlesen und evtl. beantworten.

Gruß,
Schalapenjo

20.11.2009, 00:00

Leopold

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Wie du selbst sagst, heißt das Ding Kurvenintegral. Dann gibst du aber nur zwei Punkte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ an. Zwei Punkte sind aber keine Kurve! Mit anderen Worten: deine Angaben sind unvollständig. Irgendwo in der Aufgabe muß stehen, durch welche Kurve diese beiden Punkte verbunden werden, sei es ein Kreisbogen, eine Strecke oder sonst eine Kurve. Dann mußt du für diese Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ eine Parametrisierung

$\begin{eqnarray*} \gamma: \ \ x = u(t) \, , \ \ y = v(t) \, , \ \ z = w(t) \, ; \ \ t \in [a,b] \end{eqnarray*}$

finden und kannst das Kurvenintegral

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} 2x~\dd x + (y+z)~\dd y + z~\dd z \end{eqnarray*}$

berechnen, indem du $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ gemäß der Parametrisierung substituierst. Dabei müssen auch die Differentiale substituiert werden, z.B. $\begin{eqnarray*} \dd x = u'(t)~\dd t \end{eqnarray*}$ . So erhältst du nach Ausklammern von $\begin{eqnarray*} \dd t \end{eqnarray*}$ ein gewöhnliches reelles Integral in der Variablen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} 2x~\dd x + (y+z)~\dd y + z~\dd z = \int_a^b f(t)~\dd t \end{eqnarray*}$

20.11.2009, 08:32

vektorraum

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RE: Kurvenintegral im Vektorfeld von A nach B

Zitat:

Original von Schalapenjo
Gegeben sei das Vektorfeld:

f=(2x ; y+z, z)^T

Gesucht wird das Kurvenintegral für A=(1,0,0)^T und B=(1,1,-1)^T

-> Die Lösung ist I=1/2

Wie Leopold schon richtig gesagt hat, gibt es vielleicht gar nicht DIE Lösung. Du solltest vielleicht vorher auch prüfen, ob das Integral unabhängig vom gewählten Weg ist.

Dazu wurde ja schon einiges vorgeschlagen. Du solltest also mal nachschauen, welche Kriterien ihr aufgeschrieben habt, denn falls ihr den Hauptsatz schon hattet, ist es ja recht einfach.

20.11.2009, 09:39

Schalapenjo

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Hallo!

Vielen Dank erstmal für die Antworten.
Leopold hat Recht, es fehlt in meiner Aufgabenstellung das es sich um eine Strecke zwischen A und B handelt.

Ich habe das Integral parametriesiert und ausgeklammert:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} (2*u(t)*u'(t)+ (v(t)+w(t))*v'(t)+w(t)*w'(t))dt \end{eqnarray*}$

Jedoch kann ich mir trotzdem noch keine Reim drauf machen wie weiter fortfahren soll.

20.11.2009, 09:44

vektorraum

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Ihr habt doch das Kurvenintegral zweiter Art sicher irgendwie definiert oder eingeführt. Man hat

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} V\cdot \dd x=\int_{a}^{b} V(c(t))\cdot c'(t) \dd t \end{eqnarray*}$

Gib als erstes bitte die Parametrisierung deiner Strecke an, d.h. irgendwie in der Form

$\begin{eqnarray*} c=c(t) \end{eqnarray*}$ .

Das ist recht einfach, wenn du dir eine Gerade durch die Punkte A und B legst und anschließend schaust, in welchem Bereich dein Parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ laufen muss.

Dann nur noch einsetzen, beachte, dass dort ein Skalarprodukt steht.

20.11.2009, 09:56

Schalapenjo

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sorry, ich weiß nicht was du meinst mit "in welchem Bereich dein Parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ laufen muss".

Etwa eine Gerade in der Form x=(1,0,0)+t*(0,1,-1) ?

20.11.2009, 10:04

vektorraum

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Genau. Nun hast du aber die komplette Gerade erfasst, wobei also $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist. Für eine Strecke musst du das entsprechend einschränken.

Die untere Grenze geb ich dir mal an: setzt man nämlich $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ , so landet man genau bei A. Wie sieht es für die andere Seite aus? Für welchen Wert von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ erhält man gerade B???

Dann hast du also: $\begin{eqnarray*} 0\leq t \leq \ldots \end{eqnarray*}$

20.11.2009, 10:09

Schalapenjo

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das wäre dann 1
also haben wir $\begin{eqnarray*} 0\leq t \leq \ 1 \end{eqnarray*}$
das müssten ja dann die Grenzen für das parametrisierte Integral sein,oder?

20.11.2009, 10:14

vektorraum

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Ja, das sind dann deine Grenzen. Wir haben also:

$\begin{eqnarray*} c(t)=(1,t,-t) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} 0\leq t \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Und nun die Ableitung bilden und entsprechend der obigen Definition für das Kurvenintegral alles ausrechnen.

20.11.2009, 10:29

Schalapenjo

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Nachdem ich die beiden Vektoren multipliziert und das Integral aufgestellt habe, komme ich nun auf die 0,5!

Vielen Dank für die Hilfe Vektorraum!

20.11.2009, 10:30

vektorraum

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Ist ja in diesem Fall auch recht angenehm, da viel Null wird Augenzwinkern

Gerne, immer wieder!

Freude

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