Monotonie,Beschränktheit,Grenzwert |
19.11.2009, 23:45 | Nik88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Monotonie,Beschränktheit,Grenzwert Zeigen Sie das die rekursiv definierte Folge [attach]12100[/attach] konvergiert, indem Sie Monotonie und Beschränktheit nachweisen. Bestimmen Sie anschließend den Grenzwert der Folge. Ich war leider krank am Tage der Vorlesung. Ich werde allerdings auch nicht aus dem Script meines Komilitonen schlau noch aus dem Internet. Es wäre sehr nett von euch, wenn Ihr mir anhand dieser Aufgabe mir vermitteln könntet, wie das alles so recht funktioniert. Danke schonmal im vorraus! Meine Versuche bissher: für die Monotonie: a2 = (1/4)² + 1/4 = 3/8 a3 = (3/8)² + 1/4 = 25/64 daraus entnehme ich das die folge von 0,25 aufwärts steigt --> also monoton. Richtig? Was genau ist an? bei a1 = an = 1/4? bei a2 = an = 3/8? Mfg Nik |
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19.11.2009, 23:51 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
a2 = (1/4)² + 1/4 = 3/8 Das würde ich nochmal überdenken. |
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20.11.2009, 09:32 | Nik88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ist an nicht immer der Wert der für das vorherige Folgeglied rauskommt? Wie gesagt, ich stehe bei diesem Thema momentan noch auf dem schlauch! Wie ist denn der Wert für an beim ersten Folgeglied? Ich hab ja bisher nur nur a1. |
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20.11.2009, 10:04 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Monotonie,Beschränktheit,Grenzwert
Dies zeigt mir, daß du das Prinzip einer rekursiven Folge nicht verstanden hast. Bei einer rekursiven Folge gibt es keinen expliziten Ausdruck für a_n. Es wird lediglich ein Startwert (also a_1) angegeben und eine Rekursionsformel, mit der man aus dem Vorgänger den Nachfolger der Folge berechnen kann.
Trotz des Hinweises von Ifindu merkst du nicht, daß (1/4)² + 1/4 = 3/8 falsch ist. Das ist erschütternd.
Als zu zeigende Vermutung ist das ok. Ein Beweis ist das aber nicht. |
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20.11.2009, 12:10 | Nik88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also a1= 1/4 ist nur das erste Folgeglied. Danach kann ich beliebig für an einsetzen... also z.b an = 4 oder so!? Richtig? -->steht das quadrat da im prinzip nur, damit die Folge nicht in den negativen Bereich geht? --> Soweit jetzt richtig? |
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20.11.2009, 12:21 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Unfug. a_n = 4 würde bedeuten, daß für alle n aus N eben a_n = 4 ist. Du kannst aus a_1 das a_2 berechnen, dann aus a_2 das a_3, usw.
Das ist sicherlich richtig. Aber wir brauchen den Nachweis, daß die Folge (a_n) nach oben beschränkt ist. |
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20.11.2009, 13:06 | Kuehlkiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Beschraenktheit zeigst Du am besten per Induktion. Waehle dazu z.B. 0.5 als obere Schranke. Die Monotonie folgt mit Hilfe der offensichtlichen Ungleichung: |
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21.11.2009, 12:09 | Nik88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
verstehe ich nicht. ich hab doch oben per induktion eingesetzt. und damit festgestellt, dass die Folge von 0,25 an nach oben verläuft. wieso soll ich jez für a_n 0,5 einsetzen? Verstehe bald gar nichts mehr... meines erachtes steht da ja a_n² + 1/4 dann ist es doch egal was ich einsetz für a_n. Es wird immer größer werden oder nicht!? Was hat denn das mit der Beschränktheit überhaupt auf sich? In wie fern soll die denn BEschränkt sein, wenn die Folge doch gegen unendlich läuft? mfg Nik |
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21.11.2009, 13:15 | Lord Pünktchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Um die Monotonie zu beweisen musst zu folgendes zeigen: Falls du diese Ungleichung umformst kommst du auf den Ausdruck von Kuhkiste Wie trivial oder offensichtilich das ist, ist vollkommen egal. In der Aufgabenstellung steht, dass man dies nachweisen soll. Ein "ich schätze" oder "ich schließe, dass" sind in Nachweisen fehl am Platz. Und deine Frage lässt vermuten, dass du dir nichteinmal sicher bist. ALSO: Den Beweis formal wiedergeben, so wie es in der Aufgabenstellung verlangt wird. Um die Beschränktheit zu beweisen musst du folgendes zeigen: Die untere Schranke hast du ja schon herausgefunde. Jetzt brauchst du noch eine obere Schranke. Und nein ... die Folge strebt nicht gegen unendlich. Den vorschlag von Kuhkiste solltest du einfach annehmen. Versuche über Induktion zu zeigen, dass für alle natürlichen Zahlen n. Edit: Mit Induktion ist hier die vollständige Induktion gemeint. Dabei zeigt man, dass und danach zeigst du, dass , falls bereits gilt. |
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21.11.2009, 14:08 | Nik88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja also bei a1 < an ist es ja offensichtlich....., dass 1/4 < 1/2 ist. und bei a_n+1 ist es ja dann 1/2 <= 1/2...! Also heisst das dann das c2 = 1/2 ist. Richtig? Und wovon muss ich jetzt grenzwert bestimmen? nehm ich dazu den Term von a_n+1 ? gruß nik |
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21.11.2009, 14:26 | Lord Pünktchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Korrekt: c_2 = 1/2 Zum Grenzwert: Welche Sätze kennt ihr schon. Weißt Du, dass , falls a_n eine konvergente Folge ist. Weißt Du, dass in diesem Fall auch: gilt? Sollte dies so sein, dann kannst du zur Ermittlung des Grenzwertes folgende Gleichung lösen: |
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21.11.2009, 14:38 | Nik88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
was setz ich dann für dieses a ein? wir haben irgendwie ein zusammenhang mit der e. also der Eulrischen Zahl... aber ich glaube das bezieht sich noch auf die Beschränktheit oder? |
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21.11.2009, 15:03 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gar nichts. Du löst eine quadratiche Gleichung: |
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21.11.2009, 15:20 | Nik88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
a = a² + 1/4 a² - a + 1/4 = 0 (a-1/2)² = 0 a - 1/2 = +- 0 a = 1/2 Richtig? |
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21.11.2009, 17:44 | Nik88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
DAnn bedanke ich mich recht herzlich bei allen, die hier in diesem Thread mitgewirkt haben. mfg Nik |
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22.11.2009, 10:44 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich sehe nicht, daß du die Beschränktheit nach oben gezeigt hast. |
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