Linksinverse und rechtsinverse finden

20.11.2009, 10:57

pizzaschachtel

Linksinverse und rechtsinverse finden

Hallo,
ich habe da 2 kleine Aufgaben und finde die Lösungen irgendwie nicht, da ich mir das nur schwer bildlich vorstellen kann.

Geben Sie je ein Beispiel einer nicht trivialen linearen Abbildung an, welche
(a)injektiv, aber nicht surjektiv
(b)surjektiv, aber nicht injektiv
ist und finden Sie zu
(c) zu (a) eine lineare Linksinverse.
(d) zu (b) eine lineare Rechtsinverse.

Habe nun für (a)
$\begin{eqnarray*} y=x:x>0,x \in \mathbb R , y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
und für (b)
$\begin{eqnarray*} y=x^2:x \in \mathbb R ,y>0, y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

aber wie findet man nun eine Linksinverse? Ich habe mir das so gedacht:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x \text{und} f(y)=y \end{eqnarray*}$ <-- das ist ja an sich die gerade $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ und ist gleichzeitig eine Linksinverse. Schreibt man das dann so:
Linksinverse: $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ ?

dann zu (d)
Das kann ich mir jetzt kaum vorstellen, wie das gehen soll. Vielleicht könnt ihr mir da ja einen Tipp geben und wenn ich (c) habe komme ich dann gegebenenfalls selbst auf (d)

Danke, wenn ihr mir helft Augenzwinkern

20.11.2009, 10:59

tigerbine

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RE: Linksinverse und rechtsinverse finden
Die Abbildung soll doch linear sein. Stell sie doch als Matrix dar.

20.11.2009, 11:05

pizzaschachtel

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wie soll das aussehen? Ich kann mir darunter aktuell überhaupt nichts vorstellen, wie sich eine Funktion auf sich selbst abbilden soll und wie man das dann noch als Matrix schreibt.

20.11.2009, 11:07

tigerbine

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Wieso denn auf sich selbst..

Zitat:

Geben Sie je ein Beispiel einer nicht trivialen linearen Abbildung an, welche
(a)injektiv, aber nicht surjektiv

Ax=b mit

$\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix} 2&0 \\ 0&4 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist eine Abbildung vom IR² in den IR³. Sicherlich nicht surjektiv, aber mit trivialem Kern, also injektiv.

20.11.2009, 11:19

pizzaschachtel

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Entschuldigung, aber ich kann gerade damit absolut nichts anfangen, weil ich kein Bild habe, wie das aussehen soll.

Mit deiner Matrix weiß ich gar nicht, was ich machen soll. Ich habe noch nie eine Matrix in eine Funktion geschrieben.

20.11.2009, 11:22

tigerbine

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Die Matrix stellt doch eine Lineare Abbildung dar. Was weißt du über lineare Abbildungen?

20.11.2009, 11:27

pizzaschachtel

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Ich weiß, dass ein Element von einer Menge auf ein Element auf einer anderen Menge abgebildet wird. z.B. $\begin{eqnarray*} f: X-->Y \end{eqnarray*}$ Die Elemente aus der Menge X werden auf Teilchen aus der Menge Y abgebildet.

WEnn x in X und y in Y, dann kann man sagen $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$

Was Bijektiv usw ist, weiß ich auch, damit habe ich auch keine Probleme.

Aber z.B. "Lineare" Abbilung habe ich noch nie gehört. Was genau bedeutet das "linear" und "nicht trivial"?

(Ich werde nun off müssen, komme aber gegen abends 17 Uhr wieder on)

20.11.2009, 11:32

tigerbine

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http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung

Daher geht den x² schon mal nicht.

Trivial sind die einfachen Abbildungen mit gemeint. Man soll wohl nicht gerade die Identität entsprechend modifizieren sondern ein bisschen kreativer sein.

21.11.2009, 11:33

pizzaschachtel

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Entschuldigt bitte, dass ich mich jetzt erst wieder melde, aber ich habe den ganzen abend gestern gebüffelt um etwas zu verstehen.
Jedoch ohne Erfolg unglücklich

Ich weiß immer noch nicht wie ich eine Abbildung in einer Matrix schreiben soll. Außer vielleicht so: $\begin{eqnarray*} U= \begin{pmatrix} x^2 \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich nun sage, dass für (b)
$\begin{eqnarray*} y=x^2:x \in \mathbb R ,y>0, y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt, weil ja $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ , müsste das nun aber doch stimmen, oder?

21.11.2009, 13:52

some

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Das ist aber keine lineare Abbildung, weil unter anderem f(x+y)=f(x)+f(y) gelten muss, das tut es in dem Fall nicht. Bei der linken Seite kommst du auf eine binomische Formel, bei der rechten Seite nicht.

21.11.2009, 15:59

KingKain

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Ist es nicht möglich das einfach mal wer die richtige Lösung der Aufgabe reinstellt und wir diese dann diskutieren?
Was mich auch mit am meisten interessiert, wie bilde ich eine Inverse?

23.11.2009, 18:46

tigerbine

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Nein, das ist so nicht möglich. Du sollst das doch entwickeln. Inverse heißt eben, dass man nach Abbildung ° Inverse Abbildung oder Inverse Abbildung ° Abbildung wieder auf dem Element landet, wo man gestartet ist.

Mach dich also erstmal damit vertraut, was eine lineare Abbildung ist. Dann schlage ein Beispiel vor. Dann bestimmen wir die "Inverse"

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