Menge mit Verknüpfung

20.11.2009, 12:29

imag

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Menge mit Verknüpfung

Hallo
Ich suche eine nicht leere Menge $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ zusammen mit einer assoziativen Verknüpfung $\begin{eqnarray*} G\times G \to G, (a,b) \to ab \end{eqnarray*}$ , sodass folgende 3 Eigenschaften erfüllt werden:
1) Es gibt ein Element $\begin{eqnarray*} e \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ea=a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ .
2)Zu jedem $\begin{eqnarray*} a\in G \end{eqnarray*}$ gibt es ein Element $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} aa^{-1}=e \end{eqnarray*}$
3) G ist keine Gruppe bezüglich der betrachteten Verknüpfung.
Also mein Problem ist, dass ich einfach nicht weiß wie ich da eine geeignete Gruppe finden soll. Suche und suche aber finde keine.
Ich weiß aber zum Beispiel zu 3), dass ich zeigen müsste das meine Menge G keine Rechtseins besitzt. Da ich ja in 1) nur zeigen muss, dass die Menge eine Linkseins besitzt. Und, wenn die Menge nur eine Linkseins besitzt und keine Rechtseins ist sie doch keine Gruppe oder? Wäre sehr dankbar, wenn mir da jemand ein wenig weiterhelfen könnte.

20.11.2009, 12:40

Mazze

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Zitat:

Und, wenn die Menge nur eine Linkseins besitzt und keine Rechtseins ist sie doch keine Gruppe oder?

Wenn eine Linkseins existiert, so gibt es immer eine Rechtseins. Beweis :

$\begin{eqnarray*} a = ea = (aa^{-1})a = a (a^{-1}a) = ae \end{eqnarray*}$

Ähnlich kann man zeigen das aus der Existenz eines Linksinversen immer die Existenz eines Rechtsinversen folgt wenn es das neutrale Element und eine assoziative Verknüfung gibt. Formal korrekt müsste man zu erst die Existenz der Rechtsinversen folgern und kann dann die Existenz des rechtsneutralen Elementes folgern. Die einzige Eigenschaft der Gruppe, die verletzt werden kann ist die Abgeschlossenheit

Das heisst deine Aufgabe ist vornehmlich eine Menge G zu finden so dass für mindestens ein Paar $\begin{eqnarray*} a,b \in G ~ ab \notin G \end{eqnarray*}$ gilt. Zusätzlich müssen natürlich die Eigenschaften 1),2),3) gelten.

20.11.2009, 12:53

imag

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Danke für die Antwort. Das hatte ich dann schonmal falsch verstanden, ist jetzt aber klar. Aber mit meinem eigentlichen Problem bin ich noch nicht so ganz weiter: wie man nämlich so eine Menge finden kann?

20.11.2009, 12:55

Mazze

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Probiers möglichst einfach. Welche Verknüpfung nehmen wir? Am besten eine einfache! Wie wäre es mit der Multiplikation? Super, wir haben schonmal was assoziatives. Jetzt brauchen wir Zahlen, möglichst wenig , wir wollens ja einfach halten! Also eine abzählbare Menge, nein, am besten sogar eine endliche! Fangen wir an

$\begin{eqnarray*} G = \left(\left\{1,\frac{1}{2},2\right\},*\right) \end{eqnarray*}$

Das Ding ist noch kein Beispiel, aber du musst lediglich 2 Zahlen zur Menge hinzufügen und Du hast eines Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.11.2009, 12:56

tmo

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RE: Menge mit Verknüpfung

Zitat:

Original von imag
Ich suche eine nicht leere Menge $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ zusammen mit einer assoziativen Verknüpfung $\begin{eqnarray*} G\times G \to G, (a,b) \to ab \end{eqnarray*}$

Folgt daraus nicht die Abgeschlossenheit verwirrt

verwirrt

20.11.2009, 12:59

Mazze

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Zitat:

Folgt daraus nicht die Abgeschlossenheit verwirrt

Hm, Du hast völlig recht. In diesem Sinne wäre die Aufgabe nicht lösbar.

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20.11.2009, 13:09

imag

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Das hatte mich am Anfang auch verwirrt.

Zitat:

Original von Mazze

Wenn eine Linkseins existiert, so gibt es immer eine Rechtseins. Beweis :

$\begin{eqnarray*} a = ea = (aa^{-1})a = a (a^{-1}a) = ae \end{eqnarray*}$

Aber gilt dieses hier nicht nur, wenn meine Menge G auch eine Gruppe ist? und ich soll ja in 3) beweisen, dass meine Menge G eben keine Gruppe ist.

20.11.2009, 13:18

Mazze

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Zitat:

Aber gilt dieses hier nicht nur, wenn meine Menge G auch eine Gruppe ist?

Oh doch. Die Existenz von Linkseins,Linksinverser und assoziativer Verknüpfung ist Hinreichend für die Existenz des Rechtsinversen und des Rechtseins. Der Beweis ist sehr leicht :

Zunächst die Existenz des Rechtsinversen :

Sei also $\begin{eqnarray*} a^{-1}a = e \end{eqnarray*}$ , wir wollen zeigen das dann auch $\begin{eqnarray*} aa^{-1} = e \end{eqnarray*}$ ist. Es gilt wegen der Linkseins :

$\begin{eqnarray*} aa^{-1} = eaa^{-1} \end{eqnarray*}$

e lässt sich auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} (a^{-1})^{-1}a^{-1} = e \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} (a^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ das Linksinverse zu $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ ist. Daraus ergibt sich :

$\begin{eqnarray*} aa^{-1} = \left((a^{-1})^{-1}a^{-1}\right)(aa^{-1}) = (a^{-1})^{-1}(a^{-1}a)a^{-1} = (a^{-1})^{-1}a^{-1} = e \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ auch Rechtsinverses. Damit ist folgender Beweis für die Rechtseins

$\begin{eqnarray*} a = ea = (aa^{-1})a = a (a^{-1}a) = ae \end{eqnarray*}$

gültig. Und damit ist G eine Gruppe da die Menge bezüglich der Verknüfung abgeschlossen ist. So wie deine Aufgabe da steht ist sie nicht lösbar.

20.11.2009, 13:23

imag

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Ich glaube irgendwie reden wir aneinander vorbei.
Ich will doch eine nicht leere Menge G (keine Gruppe) finden bei der eine Linkseins existiert und ein Rechstinverses exitiert. Damit es eine Gruppe wäre, müsste doch eine Rechtseins und ein Rechtsinverses existieren.
und genau deswegen müsste ich doch dann zeigen, dass aber keine Rechtseins existiert und somit meine Menge, wie in 3) verlangt, keine Gruppe ist. Geht das so nicht?

20.11.2009, 13:35

Mazze

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LOL Hammer

Uff, ja richtig lesen wärs mal. Wir haben also Linkseins und Rechtsinverse.

Zitat:

und genau deswegen müsste ich doch dann zeigen, dass aber keine Rechtseins existiert und somit meine Menge, wie in 3) verlangt, keine Gruppe ist. Geht das so nicht?

Ja , in der Tat das geht schief. Entweder Rechtseins oder Linksinverse , suchs Dir aus. Die Multiplikation auf Zahlen solltest Du da aber nicht nehmen, da diese kommutativ ist.

20.11.2009, 13:40

imag

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Und jetzt bin ich wieder bei meinem anfänglichen Problem angelangt Augenzwinkern

Augenzwinkern

, nämlich wie ich ein nichtleere Menge mit einer assoziativen Verknüpfung finden kann, mit der ich genau das zeigen kann. Das ist mein größtes Problem bei der Sache.

20.11.2009, 13:44

Mazze

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Definiere dir von Hand ein assoziative Verknüpfung auf der Menge

$\begin{eqnarray*} G = \{e,a\} \end{eqnarray*}$

Du musst vier Fälle betrachten :

$\begin{eqnarray*} e * e = ? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e * a = ? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a * e = ? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a * a = ? \end{eqnarray*}$

Wenn Du die ? richtig ausfüllst erhälst Du das richtige Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.11.2009, 15:37

imag

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$\begin{eqnarray*} G = \{e,a\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e * e = e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e * a = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a * e = ? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a * a = ? \end{eqnarray*}$

Also die ersten beiden würde ich so ausfüllen. Aber irgendwie verstehe ich nicht wie ich die anderen beiden sinnvoll ausfülle. vllt das letzte mit $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ ? verstehe den sinn dahinter nicht so wirklich.

20.11.2009, 16:11

Mazze

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Du hast 2 Elemente. Eine binäre Verknüpfung ist dann durch 4 Ausdrücke definiert. Wir wissen das e Linksneutral sein soll, also ist schonmal

$\begin{eqnarray*} e * e = e \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} e * a = a \end{eqnarray*}$

Das hast Du ja. Du hast jetzt sowieso nur noch 4 Möglichkeiten :

$\begin{eqnarray*} a * e = e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a * a = e \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} a * e = e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a * a = a \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} a * e = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a * a = e \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} a * e = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a * a = a \end{eqnarray*}$

Eine dieser vier Möglichkeiten liefert die eine assoziative Verknüpfung, für die e nicht Rechtsneutral ist.

20.11.2009, 16:42

imag

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Dann kann eigentlich nur noch dieses hier übrig bleiben oder?
$\begin{eqnarray*} e * e = e \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} e * a = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a * e = e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a * a = a \end{eqnarray*}$
und das ist jetzt meine Menge G mit meiner assoziativen Verknüpfung?
und meine 1) wäre damit
$\begin{eqnarray*} e * a = a \end{eqnarray*}$
schonmal erfüllt oder?
nur ist mein 2) damit auch schon erfüllt?
und wie zeige ich nun 3)? Kann ich einfach sagen, dass keine Rechtseins existiert? Das muss ich doch beweisen oder?

20.11.2009, 16:45

Mazze

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Also Du hast schonmal das richtige ausgewählt. Als erstes musst Du zeigen, das diese Verknüpfung tatsächlich assoziativ ist. Danach zeigst Du 1), was trivial ist. 2) ist auch trivial und wegen $\begin{eqnarray*} a * e = e \end{eqnarray*}$ ist G dann keine Gruppe.

Mit anderen Worten : e ist linksneutral und rechtsinvers, aber nicht rechtsneutral.

20.11.2009, 18:19

imag

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Also hätte das jetzt so gemacht:
Assoziativität: $\begin{eqnarray*} (a*e)*a=a*(e*a) <=> e*a=a*a <=> a=a \end{eqnarray*}$
1) Das steht ja schon in meiner Verknüpfung, die ich definiert habe: $\begin{eqnarray*} e*a=a \end{eqnarray*}$ oder?
2) $\begin{eqnarray*} e*a=a <=> e=a*a^{-1} \end{eqnarray*}$
Stimmt das so? Und reicht das als Beweis?

20.11.2009, 18:32

Mazze

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Bei der Assoziativität musst Du explizit alle Fälle durcharbeiten und peinlich genau die Definition der Verknüpfung benutzen

$\begin{eqnarray*} (a * e) * a = e * a = a = a*a = a *( e * a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (e * a) * e = ... \end{eqnarray*}$

usw. Ist nur aufschreiben.

1) Die Aussage ist, dass für alle Elemente der Menge ein linksneutrales Element existieren muss. Alle Elemente sind genau 2, nämlich a und e. Das schreibt man einfach hin

a*e = e
e*e = e

=> Linksneutrales Element existiert für alle Elemente.

2) Macht man wie bei 1)

e * e = e
a*e = e

=> Rechtsinverses existiert für alle Elemente.

20.11.2009, 19:15

imag

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Dann habe ichs glaub ich. Vielen Dank für die Hilfe. smile

smile

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