Gruppenhomomorphismen (R,+)->(Z,+)

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squidwart Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismen (R,+)->(Z,+)
hallo leute,

muss grad für ne mathevorlesung im 1. semester die folgende aufgabe lösen:
bestimmen sie alle gruppenhomomorphismen a: (R,+)->(Z,+)
wobei R:= Reelle Zahlen
Z:= Ganze Zahlen
+:= die ganz normale addition

hab gruppenhomomorphismen eigentlich ganz gut verstanden und bin der meinung, dass es hier nur einen gibt (den "trivialen":a:gER->0 wobei gER heißen soll, das g element der reellen zahlen seil soll), aber ich müsste ja dann noch beweisen, dass es sonst keine mehr gibt. hat jemand ne idee, wie das gehen könnte? denke, es hängt damit zusammen, dass Z ne Untergruppe von R ist und es deswegen schwierig ist, zb. irrationale zahlen in Z abzubilden, ohne die regeln für einen gruppenhomomorphismus zu verletzen, aber ich hab keine ahung, wie ich da ansetzen soll. kann mir da jemand helfen? vielen dank :-)
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nehme an a(1) = x.
Was folgt für a(1/(x+1))?
Mathematikstudi89 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe find ich auch ein wenig komisch.
Würde sowas eher umgekehrt erwarten.

Aber würde auch sagen das es nix außer die Null gibt weil sonst ja wenn ich das von kiste jetzt richtig deute immer mindestens eine rationale Zahl rauskommt.

is zwar keine so mathematisch korrekte Zeichenformulierung aber verständlich hoff ich.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathematikstudi89
Aber würde auch sagen das es nix außer die Null gibt weil sonst ja wenn ich das von kiste jetzt richtig deute immer mindestens eine rationale Zahl rauskommt.


Also ich habe das Posting von Kiste so gedeutet, dass im Falle von immer mindestens eine nicht ganze Zahl rauskommt... Augenzwinkern
squidwart Auf diesen Beitrag antworten »

hm, könnte mir jemand die antwort von kiste nochmal genauer erklären?
muss ich dann den ausdruck a(1/(x+1)) einzeln aufdröseln und beweisen, dass er keine ganze zahl als ergebnis haben kann? also ich denke:
a(x+1)=x^2+x, denn a(x)=a(1+...+1)=x+...+x=x^2 , wobei die beiden summen genau x summanden haben. das kann ich ja so aufteilen, weil x ne ganze zahl sein muss und a ein homomorphismus ist.
muss ich demnach a(1/(x+1))=x/(x^2+1) setzen? aber wieso kann ich sagen dass a(x/y)=a(x)/a(y)? es geht ja hier nur um die addition... wäre sehr nett, wenn das nochmal jemand aufschlüsseln könnte :-)
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Naja es ist o.B.d.A x>0(sonst den ganzen Ausdruck noch mit -1 multiplizieren)

a(1) = a(1/(x+1) + 1/(x+1) + ....) (x+1 Summenglieder)
Damit kannst du jetzt a(1/(x+1)) bestimmen!
 
 
squidwart Auf diesen Beitrag antworten »

ah, also ist a(1/(x+1))=x/(x+1), was ja eindeutig keine ganze zahl sein kann. vielen dank!
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