Reihenkonvergenz/Divergenz Indexverschiebung etc.

20.11.2009, 21:32

TimTim

Reihenkonvergenz/Divergenz Indexverschiebung etc.

Hallo, ich versuche mich grad in Reihen reinzudenken, Folgen klappt wunderbar aber bei Reihen hängt es bei mir noch.

Ich brüte hier grad über einem Übungszettel der Uni und bin etwas überfordert.

Ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty ~-(5)^{3k+1} \end{eqnarray*}$

Man soll Konvergenz/Divergenz überprüfen, bei Konvergenz den grenzwert angeben oder wenn die reihe Divergent ist sagen ob sie best. divergent, undbest. divergent ist.

Ich wollte das jetzt mit dem Quotientenkriterium lösen und hab dann also:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-5)^{3k+2} }{(-5)^{3k+1}} = 5 \end{eqnarray*}$ raus.

Damit ist die Reihe doch Divergent, richtig? Wie zeige ich jetzt ob bestimmte/unbestimmte Divergenz vorliegt?

Und nochwas: Im Netz findet man häufig, dass ich die Indexverschiebung nicht beachten muss beim Quotientenkriterium, stimmt das?

Noch was: Ich hab versucht die Gleichung auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~(q)^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ zu bringen indem ich den Index verschiebe meiner Folge und komme da auf.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~(-5)^{3k-1} \end{eqnarray*}$ ist das korrekt?

Wie bekomm ich da jetzt die 3 noch weg damit ich das Kriterium anwenden kann?

20.11.2009, 23:06

MLRS

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RE: Reihenkonvergenz/Divergenz Indexverschiebung etc.

Zitat:

Original von TimTim
$\begin{eqnarray*} \frac{(-5)^{3k+2} }{(-5)^{3k+1}} = 5 \end{eqnarray*}$ raus.

Der Summand nach $\begin{eqnarray*} (-5)^{3k+1} \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} (-5)^{3k+2} \end{eqnarray*}$ !!

Wenn du für k (k+1) einsetztst ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} (-5)^{3(k+1)+1}=(-5)^{3k+4} \end{eqnarray*}$

Zur Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~(-5)^{3k+1}=(-5)\cdot \sum_{k=2}^\infty~(-5)^{3k} \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du noch das Problem mit dem Summenanfang bei k=2 lösen und dann ist das eine geometrische Reihe Augenzwinkern

20.11.2009, 23:18

TimTim

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~(-5)^{3k+1}=(-5)\cdot \sum_{k=2}^\infty~(-5)^{3k} \end{eqnarray*}$

Das wäre dann

$\begin{eqnarray*} (-5)\cdot \sum_{k=0}^\infty~(-5)^{3k-2} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~(-5)^{3k-1} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} -(-5)\cdot \sum_{k=0}^\infty~(-5)^{3k} \end{eqnarray*}$

oder?

wie bekomm ich jetzt noch die 3 weg?

20.11.2009, 23:32

giles

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Hallo TimTim,

anstatt das alles zu TeXen hättest du dir mal die ersten 3 Terme hinschreiben können. Dann hättest du schon selbst gesehen, dass es falsch ist. Wenn du es gleich richtig dort stehen hast, kriegst du die 3 durch
$\begin{eqnarray*} \left( -5 \right)^{3k} = \left( (-5)^3 \right)^{k} \end{eqnarray*}$
auch "weg" bzw. so weit raus, dass du es auf die Form der geometrischen Reihe gebracht hast.

MfG

20.11.2009, 23:40

TimTim

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Damit wäre dann der Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-(-5)^3} = \frac{1}{126} *(-5) = \frac{-5}{126} \end{eqnarray*}$ richtig?

Tut mir leid, war ein langer Tag heute und bei einigen trivialen Sachen stell ich mich auch recht dumm an, geb ich zu. Das mit den Potenzregeln ...ja da hätte man drauf kommen können ;-)

20.11.2009, 23:45

MLRS

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Du hast den gleichen Fehler noch einmal gemacht...

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty(-5)^{3k} \end{eqnarray*}$ - der erste Summand (k=2) ist $\begin{eqnarray*} (-5)^6 \end{eqnarray*}$

der erste Summand in $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0 }^\infty (-5)^{3k-2} \end{eqnarray*}$ ist aber $\begin{eqnarray*} (-5)^{-2} \end{eqnarray*}$

Richtig wäre (und erst dann kannst du die Formel für die geom. Reihe anwenden!)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty(-5)^{3k}=\sum_{k=0}^\infty(-5)^{3k+6} \end{eqnarray*}$

Jetzt nochmal den 6er com Exponenten vor die Summe und dann geom. Reihe

20.11.2009, 23:50

TimTim

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$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c} \infty\\ \Sigma\\ k=2\end{array}(-5)^{3k+1}=(-5)*\begin{array}{c} \infty\\ \Sigma\\ k=0\end{array}(-5)^{3k+6}=-35*\begin{array}{c} \infty\\ \Sigma\\ k=0\end{array}(-5)^{3k}=-35*\frac{1}{1-(-5)^{3}}=-\frac{5}{18} \end{eqnarray*}$

... bitte nicht hauen.... so richtig?

20.11.2009, 23:56

MLRS

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty(-5)^{3k+6}=(-5)^6\cdot\sum_{k=0}^\infty(-5)^{3k} \end{eqnarray*}$
...

das war doch vorhin genau gleich Augenzwinkern

also insgesamt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty(-5)^{3k+1}=(-5)^7\sum_{k=0}^\infty((-5)^3)^k \end{eqnarray*}$

21.11.2009, 00:00

TimTim

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-(-5)^3}*(-5)^7 \end{eqnarray*}$

ist dann korrekt?

21.11.2009, 00:07

MLRS

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Wann darf man das anwenden? Big Laugh

21.11.2009, 00:20

TimTim

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... wenn 0<=q<=1 ...

na super damit war die ganze Arbeit doch für die Katz?

21.11.2009, 00:25

MLRS

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Du hättest erst bestimmen müssen, ob die Reihe konvergent oder divergent ist!

aber du kannst das Gemachte verwerten:

$\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ , dann ist die geom. Reihe konvergent

$\begin{eqnarray*} |q|\geq 1 \end{eqnarray*}$ , dann ist die geom. Reihe divergent - und wir haben ja die Reihe so schön auf die richtige Form gebracht.

Bestimme noch das q, mit welchem hier argumentiert wird.

21.11.2009, 00:30

TimTim

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Die Konvergenz hatte ich bereits gezeigt über das Quotientenkriterium ( habs hier nicht geschrieben)

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\left|\frac{(-5)^{3k+4}}{(-5)^{3k+1}}\right|=-125<1\rightarrow \end{eqnarray*}$
->Konvergent

Mir ging es jetzt darum mal explizit den Grenzwert anzugeben aber ich weiss jetzte cht nicht wie ich das machen soll!

21.11.2009, 00:45

LLCoolDave

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Seit wann können Beträge denn negativ sein? Hast du dir schon einmal (zumindest anschaulich) überlegt, warum das Quotientenkriterium funktioniert, bzw. warum du bei deinem Ergebnis nicht stutzig geworden bist?

23.11.2009, 17:55

TimTim

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So, ja das mit dem Betrag... solche Dinger passieren wenn man stundenlang an sowas sitzt. Irgendwann fallen einem diese 'Kleinigkeiten' nichtmehr auf. Die Reihe ist natürlich divergent.

Ich müsste an dieser Stelle allerdings nochmal anchdenken womit man jetzt sagen kann ob die >Reihe bestimmt oder unbestimmt divergent ist (ohne ausprobieren)?

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